Как решить правильно задачу по математике: Как научиться решать задачи? — Хабр Q&A

Содержание

как их понимать, разбирать и решать

У меня есть книга о том, как решать математические задачи на этом уровне, которую, надеюсь, вы найдете полезной. В частности, в первой главе обсуждаются общие стратегии решения проблем. Конечно, существует еще несколько книг по решению проблем. Например, знаменитая книга Поули «Как решать» — это книга, которую я сам изучал, участвуя в олимпиаде по математике.

Решение домашних заданий — важная часть настоящего изучения высшей математики, пишет Анна Евкова evkova.org/vyisshaya-matematika. Она показывает, что вы можете не только «ходить», но и «говорить», и, в частности, показывает, какие у вас есть слабые места в материале. Стоит потрудиться, чтобы понять, как решить эти проблемы, а не только ради сиюминутной цели получить хорошую оценку. Если вам трудно решить домашнее задание, то в дальнейшем или на следующем курсе вам может быть еще труднее.

Даже после того, как вы решили проблему, «игра» с ней может быть очень полезной для понимания механизма решения. Например, попытаться убрать некоторые гипотезы или попытаться доказать более сильный вывод.

Также важно помнить, что получение решения является лишь краткосрочной целью при решении математической задачи. Долгосрочная цель — улучшить ваше понимание. Хорошее эмпирическое правило гласит: если вы не можете полностью объяснить решение своим одноклассникам, значит, вы сами не понимаете решения. В связи с этим частичный прогресс в решении проблемы следует оценивать как ступеньку к полному решению (и как важное средство углубления понимания проблемы).

Как изучать высшую математику

Высшая математика — это предмет, который невозможно обойти стороной. Некоторые люди любят ее, но, честно говоря, большинство людей ненавидят изучать математику. Математика важна для студентов как никогда — предметы являются основой завтрашних технологий. Большинство университетских курсов включают математику, а большинство профессий используют математику в той или иной форме на ежедневной основе. Проблема для многих студентов заключается в том, что они не знают, как изучать математику, чтобы получать хорошие оценки.

Высшая математика — один из тех предметов, на изучение которых можно потратить часы, но в итоге ничего не получить. Неважно, сколько вы готовились, если вы не сможете решить задачи в день экзамена, вам конец. К счастью, существуют способы изучения математики, которые вы можете применять независимо от вашего уровня знаний. К концу этой статьи вы, возможно, даже поймете, что любите математику.

7 советов по решению математических задач

1. Практика, практика и еще раз практика

Вы не можете выучить математику должным образом, просто читая или слушая. Чтобы выучить математику, вам нужно засучить рукава и решать задачи. Чем больше вы практикуетесь в решении математических задач, тем лучше у вас получается. Каждая задача имеет свои особенности, и перед экзаменом важно решить их разными способами. От этой реальности никуда не деться. Для того чтобы получить хороший результат на экзамене по математике, необходимо предварительно многократно решать математические задачи.

2. Просмотрите ошибки

При отработке этих задач важно отработать каждое решение. Вы должны проанализировать все допущенные вами ошибки и понять, где ваши навыки решения проблем не сработали. Понимание того, как вы подошли к решению проблемы и где ошиблись, — отличный способ стать сильнее и избежать повторения ошибок в будущем.

3. Овладейте ключевыми концепциями

Не пытайтесь запомнить процесс. Это контрпродуктивно. В конечном счете, гораздо лучше и полезнее сосредоточиться на понимании процесса и логики. Это поможет вам понять, как справиться с этими проблемами, если они возникнут.

Важно помнить, что математика — это непрерывный предмет. Важно хорошо понимать ключевые понятия, лежащие в основе математических тем, прежде чем переходить к другим, более сложным решениям, основанным на базовом понимании.

4. Разберитесь в своих сомнениях

Иногда учащиеся застревают, пытаясь решить часть математической задачи, и им трудно перейти к следующему этапу. Многие студенты часто пропускают эту задачу и переходят к следующей. Чтобы избежать этого, следует уделить время пониманию процесса решения проблем. Если вы поняли исходную проблему, вы можете использовать ее как трамплин для перехода к остальным проблемам.

Помните, что для овладения математикой требуется время и терпение.

Лучше всего заниматься с другом, с которым можно обсудить и обменяться идеями по решению сложных задач.

5. Создайте учебную среду, свободную от отвлекающих факторов

Высшая математика — это предмет, который требует большей концентрации внимания, чем любой другой. При решении сложных уравнений и задач по геометрии, алгебре и тригонометрии решающее значение имеют подходящая учебная среда и свободное пространство, не отвлекающее внимание.

Обучающая музыка помогает создать расслабляющую атмосферу и стимулировать поток информации. Соответствующая фоновая музыка поможет вам сосредоточиться. Конечно, лучше избегать Pitbull и Eminem. Инструментальная музыка — лучшая в наши дни.

6. Создайте математический словарь

Высшая математика имеет свою специфическую терминологию и большой словарный запас. Мы рекомендуем вам сделать блокнот или карточку со всеми необходимыми понятиями, терминами и определениями. Покажите смысл, ключевые моменты и даже примеры решений, чтобы вы могли в любой момент обсудить и обобщить их.

7. Применяйте математику к реальным задачам

Приступая к изучению математики, старайтесь как можно чаще применять реальные задачи. Поскольку математика настолько абстрактна, поиск практических приложений может изменить вашу точку зрения и помочь вам по-другому воспринимать идеи.

Вероятность можно использовать в повседневной жизни, например, для предсказания исхода событий или для принятия решения о том, стоит ли рисковать, например, покупать лотерейный билет или играть в азартные игры.

И помните, что также важно быть уверенным в себе и сдавать экзамены, зная, что вы правильно подготовились.

Ресурс по объяснению решения задач по высшей математике

Анна Евкова разработала ресурс для объяснения решению задач по высшей математике, предлагая предлагаемые занятия, которые позволяют ученикам продемонстрировать свои математические знания в реальной жизни и на работе.

Ключевые особенности ресурса:

  • Он побуждает учеников решать задачи, определяя, какая математика необходима и как ее следует использовать.
  • Это позволяет ученикам устанавливать связи между различными направлениями математических знаний и понимания для решения проблемы.
  • Это дает ученикам возможность работать индивидуально или совместно, чтобы найти решение.
  • Он побуждает учеников задуматься над тем, какие методы и стратегии они использовали, и нашли ли они решение.
  • Хотя материалы по решению проблем не всегда сосредоточены на одной конкретной области знаний и понимания, они сгруппированы на вкладках ниже по направлениям, которым уделяется больше внимания.

Задачи по высшей математике также имеют связанные с ними рейтинги сложности, который обозначается кружками — переход от одного кружка к самому сложному, четырем кружкам. Указание сложности можно найти в конце каждой строки ниже. Обратите внимание, что в связи с добавлением новых менее сложных задач рейтинг сложности для каждой задачи был изменен.

Как подготовиться к решению задач с параметром на ЕГЭ

Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня


Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.

Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.

«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.


Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.

Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

  • задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;
  • применение теоремы Виета в задачах с параметром;
  • расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;
  • более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.
  • Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром

    Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.

    На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

    В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

    Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

    Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

    Регулярно тренируйтесь в решении задач

    Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
    Вы можете:

    • Начать заниматься бесплатно.
    • Купить доступ к этой задаче в составе экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.

    Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

    Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

    Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
    Разбор задач с параметрами из ЕГЭ по математике, по теме задачи с параметром ЕГЭ, как решать задание 18 в экзамене ЕГЭ, задачи с параметром ЕГЭ, задания с параметром ЕГЭ, задача 18 ЕГЭ, модуль и окружности, решение параметров ЕГЭ, решение задачи 18, система уравнений с параметром, научиться решать задачи с параметрами, сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, начертить графики функций, ЕГЭ по математике профильного уровня, методы решения уравнений и неравенств, выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.

    Как решать задачи?

    Хороший вопрос, верно?

    Очень хочется знать ответ … Должна же быть какая-то тайна, недостающее звено, утерянное школьным образованием, из-за отсутствия которого распадается на куски полотно понимания! И не только математики, но и понимания вообще. И главная болезнь школьного образования — «наличие этого отсутствия».

    … В статье я покажу на простом примере :

    • чему можно научиться, решая простейшие задачи;
    • как работает ум при решении задач и
    • почему решать задачи действительно трудно.
    • А также, почему школа решать задачи не учит.

    Совсем.

    Да, метод решения задач существует. Но в школе он

    не применяется. Фактически он под запретом. Большинство школьников потеряли способность разбираться с решением задач настолько, что не улавливают правильное направление, даже когда его показываешь.

    Как я решаю школьные задачи (пример)

    И как я решал их, когда был школьником. Это было давно, но я все помню … Видимо, потому, что учился решать задачи, а не запоминать «типовые решения определенного класса задач».

    Вот задача:

    «Одну сторону прямоугольника увеличили на 25%. Как нужно изменить другую сторону, чтобы площадь осталась прежней?»

    Откуда эта задача я забыл. Но помню, что сын, решая ее в третьем классе, неожиданно «притормозил».

    … Чтобы уловить причину затруднения при решении такой простой задачи нужно уметь решать самому, а не просто «знать ход решения». Это намек на учителей. Большинство из них не понимают, где здесь можно запутаться и сразу начинают орать: «Такие задачи мы уже решали» и «Ты должен знать» и прочую хрень. Потому, что никогда в своей жизни задач по математике не решали. Только «проходили решение задач этого типа».

    Поскольку я не учитель, то увидеть «ровное место», на котором споткнулся сын, мне было нетрудно.

    Вот реконструкция мыслей думающего человека при решении подобных задач.

    Почему сложно решать текстовые задачи

    «Если бы мне дали час на решение задачи, то 55 минут я думал бы над условием, а 5 над решением»
    А.Эйнштейн

    «Понять условие – значит решить задачу». Известная мудрость.

    Где в условии задачи подвох?

    «У прямоугольника 2 стороны: большая и меньшая. Площадь прямоугольника равна произведению … и т.п.». Так «решают» задачи учителя.

    Но третьекласснику показалось, что сторон у четырехугольника больше двух. Аж четыре!.. Поэтому представив условие он «притормозил»: «Какую именно другую сторону следует уменьшить?..»

    Взрослому трудно понять такого рода трудности. Большинство «знает», что у прямоугольника две стороны: А и В. Поэтому большинство взрослых не способно к творчеству.

    И большинство взрослых не умеют учить.

    А дети пока умеют: и учиться и творить…

    Решение задачи школьным методом

    Решение несложное. Нужно знать, как вычислить площадь прямоугольника.

    А х В = S.

    Если один из сомножителей умножить на 1,25 (то есть увеличить на 25%), то для сохранения произведения нужно другой сомножитель разделить на 1,25.

    (А х 1,25) х (В : 1,25) = S

    Несложно.

    Хотя я рекомендовал бы расписать все на бумажке.

    Зачем? Давайте смотреть дальше…

    Обязательно ли четырехугольник после увеличения «одной из сторон» останется прямоугольным?

    И если нет, то:

    • окажется ли площадь произвольного четырехугольника равна площади исходного прямоугольника?

    «Узри, чтобы понять!»,

    — воскликнул арабский, кажется, математик, обнаружив еще одно доказательство теоремы Пифагора. Не «Посчитай» …

    Я простой смертный и могу ошибаться. Мое отличие от большинства других смертных в том, что зная это, я не полагаюсь на «абстрактный» ум, забитый «типовыми решениями».

    Давайте изобразим частный случай трансформации прямоугольника после увеличения «одной из сторон» на 25%.

    Менее очевидное, но не менее шаблонное решение

    Пользователь оставил комментарий к моему видео «Как понимать математику (абстрактное и конкретное мышление)».

    «Задача, как ее понял ваш сын, также решается просто: другую сторону прямоугольника нужно уменьшить на 25%».

    Я ответил:

    «Неверно. Площадь произвольного четырехугольника не будет равна площади исходного прямоугольника. И видео это не о том, как считать, а о том, как понять, что именно нужно считать».

    Честно говоря, я попался ….

    … Но знание того, что люди склонны ошибаться, а я — человек, помогает выбираться из ловушек очевидности. Даже если в них попадаешься …

    Может ли быть более одного правильного решения задачи?

    Почувствовав неладное, я нарисовал картинку:

    И … понял, что комментатор прав.

    Можно алгебраически показать, что площади двух заштрихованных треугольников равны. Следовательно, площадь получившегося четырехугольника также равна площади исходного прямоугольника …

    Здесь «Правое» встречается с «Левым». (Декарт, кажется, впервые ввел в алгебру геометрию, придумав систему координат.)

    Эта задачка — пример, в котором весьма затруднительно доказать равенство чисто геометрически. Алгебраически же … А что именно тогда считать, не изобразив условие?..)

    Чувство правильного решения

    Некоторое чувство, инстинкт понимания, которые развиваются в процессе решения задач, шептали мне: что-то здесь не сходится …

    … Наш мозг так устроен, что экономит энергию буквально на всем. А очевидное — это привычное, шаблонное, легкое. Поэтому мозг всегда толкает нас в сторону известного и привычного …

    Комментатор (нужно отдать ему должное) внимательно смотрел видео и решил задачу менее стандартно. Но … действовал по той же схеме «энергосбережения».

    Шаблоны бывают разного уровня, но шаблон есть шаблон. Всегда найдется задача, на которой он не сработает и привычное решение окажется неверным …

    (На это, замечу и рассчитана ловушка ЕГЭ: учить запоминать, а потом давать задачи на понимание).

    Еще менее очевидное решение задачи …

    «У прямоугольника 4 стороны. И если одну из них увеличили на 25%, то почему он взял именно эту, «удобную» сторону?»,- подумал я. Как, видимо, подумал и мой сын, который не смог оформить эту мысль, поэтому просто «притормозил».

    Почему не взять другую сторону b? Ту, что изменилась при увеличении стороны a? Ведь говорится просто о «другой» стороне?

    Да потому, что ум нашептывает: этот вариант посчитать будет труднее!

    В предыдущих двух примерах решение получалось:

    • В первом случае, по формуле площади прямоугольника мы просто умножали и делили.
    • Во втором случае, чтобы узнать что на что умножать, нам пришлось изобразить задачу, а потом, посчитав площади двух заштрихованных треугольников, увидеть, что они равны.

    В третьем же случае …

    … Изобразим условие задачи и узрим ответ.

    Что получится, если после увеличения на 25% стороны a уменьшить на 25% сторону b, а не удобную для решения сторону d? Что будет, если мы уменьшим на 25% сторону, только что ставшую функцией изменения другой стороны?

    … Сравнить площади возникшего неправильного и исходного правильного четырехугольников с использованием только Пифагоровой теоремы не получится.

    И совсем не очевидно, что

    • площади получившегося четырехугольника и
    • исходного прямоугольника

    равны …

    А что есть математика, если не приведение условия задачи к очевидному (аксиоматическому) виду?

    В науке утверждение считается верным после того, как оно будет доказано через:

     

    • аксиомы, очевидности, которые условились считать таковыми;
    • логику, опять же, основанную на аксиомах.

    Если бы мы не изобразили задачу, не поигрались с рисунком, то не подобрались бы к более глубокому пониманию … Не решили бы задачу.

    И вот правильное направление в обучении.

    • Чтобы научиться решать задачи, нужно выработать привычку всматриваться в условие. Так можно научиться думать и перестать бояться экзаменов.

    Равно, как и школьных учителей, абсолютное большинство которых думать и решать задачи не умеет. И не может этому научить.


    …Откуда возникает чувство, которое подсказывает: что-то здесь не складывается … Давай взглянем еще раз…

    Решение задач, имеющих практический смысл (источник понимания)

    Поскольку мне пришлось довольно плотно заниматься финансовыми инструментами, то я вынужден был научиться чувствовать некоторые фокусы, связанные с процентами. От этого зависело выживание моего депозита.

    Просто взглянув на задачу о прямоугольнике, можно почувствовать: что-то здесь не так.

    Попробуйте доказать (или опровергнуть) утверждение:

    при уменьшении на 25% любой другой стороны получившегося неправильного четырехугольника его площадь окажется равной исходному прямоугольнику.


    И если вы это сделаете, то поймете:

    • почему можно «притормозить», размышляя над этой задачей.
    • Что эту задачу невозможно решить на уровне 3, 4, 5 классов.
    • Что ответ «Верно» или «Нет» зависит от выбранной модели решения. (И здесь их минимум три).

    И еще вы заметите, что на «простой» задаче можно научить ребенка думать и решать очень широкий класс задач … Если учить именно решать и думать, а не умножать «ширину на высоту».


    Да, иногда чувства обманывают.

    Но иногда они же подсказывают направление, в котором есть смысл двигаться и, возможно, что-то найти. В этом мире нет точных шаблонов на все случаи, но есть направления, двигаясь по которым чаще находишь что-то полезное. И становишься умнее, способнее, успешнее. Иногда даже счастливее …


    На закуску еще одна

    действительно простая задачка.

    Решите ее быстро, как это требуют в школе.

    Величину А увеличили на 100%. На сколько процентов нужно уменьшить результат, чтобы вернуться в «исходное состояние»?

    По опыту: менее одного человека из ста правильно решают подобные задачи. А ведь стоит нарисовать это, как получить неправильный ответ становится сложно!

    Вот и думайте:

    • разрешать ли ребенку пользоваться счетными палочками, пальцами, счетами,
    • провоцировать изображать условие задачи на бумаге или
    • слушать школьных авторитетов, авторов современной школьной методики обучения, которые в решении задач не понимают ни хрена …

    P.S.

    Меня уже успели спросить: а при чем тут проценты и эта задача?

    Это третья модель решения

    По условию одну сторону (допустим ширину) увеличили на четверть. Получился прямоугольник, площадь которого увеличилась на четверть.

    На сколько нужно изменить «другую сторону» …

    Ваше решение?

    Запись только для зарегистрированных

    5 проблем с изучением математики из-за слабо развитых исполнительных функций

    Исполнительные функции играют большую роль в успешном решении математических задач. Они помогают детям применять на практике известную им информацию и развивать новые навыки. Поэтому, когда у ребенка проблемы с исполнительными функциями, им тяжело дается математика, даже если они ее понимают.

    Ниже перечислены проблемы, с которыми они обычно сталкиваются.

    1. Делают домашнюю работу быстро и неправильно

    Некоторые дети с проблемами с исполнительными функциями могут быть импульсивными или нетерпеливыми. Они делают домашнее задание быстро и кое-как. Когда дело касается математики, детям нужно хорошо понимать задание, но дети с проблемами с исполнительными функциями, скорее всего, не будут вчитываться в задачу и думать о том, что им нужно делать, они сразу приступают к решению.

    Например, ребенок может предположить, что задача решается сложением, потому что так было вчера. Спеша начать, он не замечает, что в сегодняшней задаче во всех примерах стоит знак минус, а не плюс. Таким образом, он все решает неправильно.

    2. Испытывают трудности с применением новых правил на практике

    Для того, чтобы научиться новому, необходимо находить новые решения новых задач. Для этого необходимо обладать гибким умом, а также останавливаться и думать, прежде чем действовать. Но дети с проблемами с исполнительными функциями часто застревают на том, что уже знают. В результате, им трудно отступить назад, чтобы придумать другое решение проблемы.

    Например, когда ребенок изучает дроби, он будет настаивать, что ¼ больше, чем ½, потому что он знает, что 4 больше, чем 2. Однако в этом случае, чем знаменатель больше, тем дробь меньше. Чтобы узнать, какая дробь больше, ему нужно понять эту систему, выучить новое правило.

    3. Отвечают, не задумываясь

    Некоторые дети с проблемами с исполнительными функциями решают задачи, основываясь на опыте. ­­Вместо того, чтобы оценивать каждую ситуацию осознанно, они дают ответ автоматически. Когда дело доходит до математики, они могут игнорировать ключевую информацию в задаче и из-за этого испытывают трудности с составлением уравнений.

    Предположим, ребенок решает задачи на сложение. 3 + 3 будет 6, так он и отвечает. Потом он видит 3 – 3 и тоже пишет 6 в ответе. Дело не в том, что он не знает, как вычитать, но он видит 3 и 3 и отвечает первое, что приходит ему в голову.

    4. Теряются посередине комплексных математических задач

    При решении сложных математических задач важную роль играет рабочая память. Известная информация, освоенная раньше (например — формула, ответ из прошлой задачи, пример упражнения из учебника) может помочь в решении новой проблемы, но дети с плохой рабочей памятью легко теряются в выстраивании нужных действий.

    Вот пример. Деля в столбик, ребенок забывает, что должен спустить остаток после вычитания. Он не может вспомнить, что ему делать дальше и сдается или приходит к неверному ответу.

    Также, ученики часто должны показывать процесс своего решения задач. Для этого они используют черновик, на котором показывают пошагово, как они пришли к такому решению. Но дети с проблемами с исполнительными функциями неорганизованны. Они расписывают информацию по листку вразброс, что путает не только учителя, но и их самих.

    5. Не осознают свои ошибки

    Детям необходимо осознавать свое развитие и свои достижения. Дети с проблемами с исполнительными функциями не могут проанализировать свою работу. Им просто не может прийти в голову, что ответ не имеет смысла и им нужно найти свою ошибку или обратиться за помощью.

    Допустим, такой ребенок заканчивает свой тест по математике раньше времени. Несмотря на то, что у него есть дополнительное время, он не проверяет работу на наличие ошибок – он не видит в этом смысла, так как уверен в том, что сделал все правильно.

    Как Вы можете помочь?

    Если проблемы с исполнительными функциями стоят на пути изучения математики у Вашего ребенка, ему можно помочь преодолеть их с помощью различных методов.

    Начните с того, что приучите его вчитываться в задачу, прежде чем приступать к ее решению. Пусть он подчеркивает вопросы и выделяет маркером важные пункты (включая знаки «плюс» и «минус»). Он должен оценить, знает ли он, как решить проблему и нужна ли ему помощь. Пусть задаст себе вопросы, вроде «чем похожа и чем отличается эта задача он предыдущей?».

    Помогите ребенку создать свой собственный список того, на что ему нужно обратить внимание прежде, чем сдать работу на проверку. Научите его самостоятельно проверять свою работу и выявлять ошибки.

    Одним из наиболее эффективных инструментов для развития исполнительных функций является онлайн методика Fast ForWord. Эта методика воздействует на самый корень проблем, связанных с нарушением развития исполнительных и когнитивных функций и благодаря этому быстро и навсегда устраняет их.

    Помогите Вашему ребенку со сложной домашней работой по математике:

    Вот то, что нужно помнить, помогая ребёнку с трудной домашней работой по математике:

    1. Для начала, непонимание чего-либо сильно действует на нервы. Поддержите ребёнка и пресекайте весь негатив, который возникает в процессе работы.

    2. Попросите ребёнка показать примеры задачи. Например, похожую задачу, которую они решали в классе или пример из учебника, к которому прилагается правильный ответ.

    3. Если Ваш ребёнок не нашёл примера задачи, попытайтесь найти помощь в интернете. В учебнике Вашего ребёнка есть заголовки или какие-то ключевые слова, по которым можно найти статьи или примеры задач в интернете. Попробуйте несколько сайтов, в них наверняка подробно написано, как решать подобные задачи.

    4. После того, как Вы найдёте пример задачи, спросите у ребенка, как ее решал учитель. Имея перед глазами решённый пример, ребёнок может вспомнить, как учитель решал задачу.

    5. Используйте пример задачи, чтобы понять, как пошагово решить ее. Запишите каждый шаг, который помнит Ваш ребёнок, решая вместе первую задачу. Это напомнит Вашему ребёнку, что математика — это процесс. Записывая рассуждения за Вашим ребёнком, Вы создадите список, который ребёнок может отдать учителю, чтобы показать, что он старался, даже если у него ничего не вышло. Используя этот список, учитель может объяснить, где именно ребёнок ошибся, чтобы в будущем он смог решить эту задачу.

     

    Чего стоит избегать, помогая ребёнку с домашней работой по математике?

     

    Вот что нельзя делать в случае, если ребёнок обратился к Вам за помощью с домашней работой по математике:

    1. Не начинайте с вопросов вроде «а что тебе учитель сказал делать?» Если бы Ваш ребёнок помнил, что ему сказал учитель, он бы, наверное, не просил у Вас помощи.

    2. Не надо сразу связываться с учителем. Дети, которые испытывают трудности с обучением или концентрацией внимания, легко сдаются и злятся, если у них что-то не получается, но важно показать им, что надо пытаться найти выход из ситуации, прежде чем просить помощи у учителя.

    3. Не ограничивайтесь запиской, вроде «мой ребёнок не выполнил домашнее задание, так как не понял его». Предоставьте учителю информацию о том, что именно не понял ребёнок. Так будет легче найти пробел и заполнить его.

     

    Выводы

    • Дети с проблемами с исполнительными функциями приступают к решению задач, не разобравшись в них, как следует.
    • Трудности с рабочей памятью, гибкостью мышления и контролем импульсивности создают проблемы с заучиванием математических правил.
    • Постарайтесь не тратить больше 10-20 минут на задачу, которую не понимает ни ваш ребёнок, ни вы.
    • Математика — это процесс. Изучите этот процесс вместе с вашим ребёнком.
    • Предлагая ребёнку примеры похожих задач, вы поможете ему решить трудную домашнюю работу.
    • Помогая ребёнку решить задачу, ведите заметки, это поможет разобрать задачу и найти то, с чем ребёнок испытывает трудности.
    • Если записанный процесс помог ребёнку решить задачу — отлично! Если нет, эти заметки можно показать учителю, который поможет найти ошибку.
    • Если у вашего ребенка есть проблемы с исполнительными функциями, есть много способов помочь ему.

    Источник

    Как решить проблемы с математикой

    «Нужно преподавать математику как особую теорию красоты»

    Psychologies: Почему у многих детей математика вызывает скуку, страх, отвращение?

    Александр Лобок, психолог: Это означает только одно: она принципиально неправильно для этого ребенка преподается в школе. Множество детей переживают унижение математикой. Долгие школьные годы они испытывают чувство своей непроходимой математической тупости, а учитель поддерживает это чувство либо в щадящей форме («Что поделаешь, у него гуманитарные мозги!»), либо в циничной и злобной («Ну ты тупой!»).

    Многие учителя убеждены, что математические способности — «от бога» и что причина «невменяемости» миллионов детей, не понимающих математику, в их природной ограниченности. Тогда как задача школы — помочь каждому ребенку почувствовать математический азарт и желание заниматься. Если этот интерес и любовь возникнут, ребенок будет гораздо более успешен — в том числе и в традиционном математическом обучении.

    Чаще всего проблемы возникают у детей гуманитарного склада. Как в них пробудить этот азарт?

    Для детей-гуманитариев важно почувствовать смысл. А традиционная школьная программа довольно часто предлагает математику как набор абстрактной «цифири», даже не пытаясь объяснить ученикам, что математика — это прежде всего философия, позволяющая совершенно по-новому взглянуть на окружающий мир. Если же детям открыть дверцу в смыслы того, чем занимается математика, — у них появляется азарт и интерес.

    Например, когда объясняешь и показываешь, что математика — это такое особое волшебство, которое позволяет обсчитать весь мир. И значит, найти что-то фундаментально общее во всем мире. Например, все можно взвесить, измерить — на этом основании сравнить мальчика Петю, его любимую кошку и папин автомобиль. И вообще, оказывается, сравнить можно все во Вселенной!

    А еще дети не подозревают, что математика наполнена внутренней красотой, — им тоже об этом никто не рассказывает. А ведь любая последовательность орнаментов или игра архитектурных форм — это математика. И если детям преподавать математику как особую теорию красоты, это очень может их зацепить.

    Значит ли это, что освоить школьный курс математики по силам каждому ребенку?

    В том виде, в каком он сегодня существует, — разумеется, нет. Да это и не нужно. А вот постигнуть эстетические и философские основания математики — это по силам и нужно всем. Благодаря этому интерес к математике — причем к самой традиционной — возникает у каждого ребенка. В том числе у тех, кто всю жизнь этот предмет ненавидел и считал себя неспособным.

    Но что же делать родителям, чьи дети учатся в традиционной школе и не справляются с математикой?

    Это всегда глубоко индивидуальная проблема. Но общая рекомендация может быть такой: надо найти такого педагога, который по-настоящему увлечен и математикой, и детьми.

    Как решить задачу? — Математика

    Несмотря на то, что задачи по математике можно решать различными способами, существует общий метод визуализации, подхода и решения, который позволяет решать даже самые сложные задачи. Этот метод позволяет также повысить математические знания и умения.
    Определите, к какому типу относится задача. Это арифметическая задача? Действия с дробями? Решение квадратных уравнений? Прежде чем приступить к решению, выясните, к какой области математики относится задача. Это важно, поскольку значительно упростит поиск способа решения.Внимательно прочитайте условие задачи. Даже если задача кажется простой, внимательно изучите ее условие. Не следует приступать к решению задачи, лишь бегло ознакомившись с ее условием. Если задача сложна, вам, возможно, понадобится несколько раз перечитать ее условие, чтобы полностью понять его. Не жалейте времени на это и не приступайте к дальнейшим действиям до тех пор, пока не узнаете точно, что дано в условии и что необходимо найти
    Изложите условие задачи. Для лучшего понимания задачи полезно изложить ее условие своими словами. Можно просто пересказать условие, либо записать его в том случае, если вам неудобно говорить вслух (например, на экзамене). Сравните собственное изложение задачи с ее первоначальным условием, выяснив тем самым, правильно ли вы поняли задание.
    Изобразите задачу графически. Если вы считаете, что это поможет, представьте задачу графически — возможно, так легче будет определить дальнейшие действия. Необязательно создавать подробную схему, достаточно набросать условие задачи в общих чертах, указав численные значения. При создании схемы справляйтесь с условием задачи, по окончании сравните готовое изображение с условием еще раз. Задайте самому себе вопрос: «Верно ли мой рисунок отображает задачу?» Если да, можно приступить к решению задачи. Если же ответ отрицателен, перечитайте условие еще раз
    Изучите структуру задачи. Внимательно прочитав условие, вы, возможно, вспомните похожие задачи, решенные вами ранее. Можно построить таблицу с внесенными в нее данными, которая поможет вам определить характер задачи. Отметьте выявленные характерные черты задачи — они помогут вам при ее решении. Не исключено даже, что вы вспомните схожие задачи и сразу получите ответ.
    Изучите сделанные пометки. Еще раз проверьте свои записи, убедившись, что вы не ошиблись в числах и прочих данных. Не приступайте к составлению плана решения до тех пор, пока не будете уверены в том, что обладаете всей необходимой информацией и полностью понимаете задачу. Если вы не до конца поняли задачу, изучите схожие примеры в учебнике или в интернете. Ознакомление с похожими задачами, решенными другими людьми, поможет вам понять, что требуется сделать для решения задачи, которую решаете вы.
    Выясните, какие формулы понадобятся для решения задачи. Если задача достаточно сложна, может потребоваться несколько формул. Ознакомьтесь с необходимым для решения материалом в учебнике.
    Выпишите то, что может потребоваться при решения задачи. Составьте последовательный список шагов, которые необходимо сделать, чтобы получить ответ. Это поможет вам правильно организовать свою работу и сосредоточиться на решении задачи. Правильно составленный план поможет также примерно оценить ответ заранее, прежде чем вы решите задачу.
    Потренируйтесь на более легкой задаче. Если есть более простая задача, похожая на ту, которую необходимо решить, попробуйте свои силы сначала на ней. Предварительный разбор простой задачи, в которой используются те же приемы и формулы, облегчит решение более сложного задания.
    Сделайте обоснованное предположение о том, каким должен быть ответ. Прежде чем приступать к непосредственному решению задачи, попытайтесь оценить ответ. Определите величины и другие факторы, влияющие на оценку. Проверьте свои рассуждения, не упустили ли вы чего-либо из виду.
    Придерживайтесь составленного плана. Выполняйте этапы последовательно в том порядке, в котором вы наметили их ранее. Чтобы избежать ошибок, перепроверяйте результат, полученный на каждом этапе.
    Сравнивайте полученные результаты с предварительно сделанными оценками. По завершении каждого этапа полезно сравнить его результат со сделанными ранее оценками; сопоставьте также конечный ответ с его предварительной оценкой. Задайте себе вопрос: «Близки ли мои предположения к полученным результатам?» Если ответ отрицателен, подумайте, почему. Проверьте полученные результаты, просмотрев все шаги решения еще раз.
    Попробуйте другую схему решения. Если составленный вами план не сработал, вернитесь к этапу планирования и разработайте новый план. Не расстраивайтесь в случае неудачной попытки, учеба не обходится без ошибок — наоборот, вы научитесь на своих ошибках и сможете избежать их в дальнейшем. Выявите сделанные ошибки и продолжайте работу. Не зацикливайтесь на ошибках и не огорчайтесь из-за них
    Проанализируйте задачу. Получив правильный ответ, вернитесь к началу и просмотрите решение еще раз. Анализ задачи и ее решения поможет вам в следующий раз, когда вы столкнетесь с подобной задачей. Также вы лучше усвоите использованные методы и приемы, которые обязательно пригодятся вам в дальнейшем.

    10 увлекательных задач от советского математика

    1. Переправа через реку

    Небольшой воинский отряд подошёл к реке, через которую необходимо было переправиться. Мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг офицер замечает у берега двух мальчиков в лодке. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков — не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Каким образом?

    Мальчики переехали реку. Один из них остался на берегу, а другой пригнал лодку к солдатам и вылез. В лодку сел солдат и переправился на другой берег. Мальчик, остававшийся там, пригнал обратно лодку к солдатам, взял своего товарища, отвёз на другой берег и снова доставил лодку обратно, после чего вылез, а в неё сел второй солдат и переправился.

    Таким образом после каждых двух перегонов лодки через реку и обратно переправлялся один солдат. Так повторялось столько раз, сколько было человек в отряде.

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    2. Сколько деталей?

    В токарном цехе завода вытачиваются детали из свинцовых заготовок. Из одной заготовки — деталь. Стружки, получившиеся при выделке шести деталей, можно переплавить и приготовить ещё одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из тридцати шести свинцовых заготовок?

    При недостаточно внимательном отношении к условию задачи рассуждают так: тридцать шесть заготовок — это тридцать шесть деталей; так как стружки каждых шести заготовок дают ещё одну новую заготовку, то из стружек тридцати шести заготовок образуется шесть новых заготовок — это ещё шесть деталей; всего 36 + 6 = 42 детали.

    Забывают при этом, что стружки, получившиеся от шести последних заготовок, тоже составят новую заготовку, то есть ещё одну деталь. Таким образом, всего деталей будет не 42, а 43.

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    3. Во время прилива

    Недалеко от берега стоит корабль со спущенной на воду верёвочной лестницей вдоль борта. У лестницы десять ступенек; расстояние между ступеньками 30 см. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды.

    Океан сегодня очень спокоен, но начинается прилив, который поднимает воду за каждый час на 15 см. Через какое время покроется водой третья ступенька верёвочной лесенки?

    Когда задача касается какого-либо физического явления, то непременно следует учитывать все его стороны, чтобы не попасть впросак. Так и здесь.

    Никакие расчёты не приведут к истинному результату, если не принять во внимание, что вместе с водой поднимутся и корабль, и лестница, так что в действительности вода никогда не покроет третьей ступеньки.

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    4. Девяносто девять

    Сколько нужно поставить знаков «плюс» (+) между цифрами числа 987 654 321, чтобы в сумме получилось 99?

    Возможны два решения: 9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99 или 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 43 + 21 = 99.

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    5. Для Цимлянского гидроузла

    В выполнении срочного заказа по изготовлению измерительных приборов для Цимлянского гидроузла приняла участие бригада в составе опытного бригадира и девяти молодых рабочих.

    В течение дня каждый из юных рабочих смонтировал по 15 приборов, а бригадир — на 9 приборов больше, чем в среднем каждый из десяти членов бригады. Сколько всего измерительных приборов было смонтировано бригадой за один рабочий день?

    Для решения задачи нужно знать количество приборов, смонтированных бригадиром. А для этого в свою очередь нужно знать, сколько приборов в среднем было смонтировано каждым из десяти членов бригады.

    Распределив поровну между девятью молодыми рабочими 9 приборов, изготовленных добавочно бригадиром, мы узнаем, что в среднем каждый член бригады смонтировал 15 + 1 = 16 приборов. Отсюда следует, что бригадир изготовил 16 + 9 = 25 приборов, а вся бригада (15 × 9) + 25 = 160 приборов.

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    6. Попробуйте отвесить

    В пакете находится 9 кг крупы. Попробуйте при помощи чашечных весов с гирями 50 и 200 г распределить всю крупу по двум пакетам: в один — 2 кг, в другой — 7 кг. При этом разрешается произвести только 3 взвешивания.

    Первое взвешивание: развесить крупу на 2 равные части (это можно сделать без гирь) по 4,5 кг. Второе взвешивание: одну из получившихся частей ещё раз развесить пополам — по 2,25 кг. Третье взвешивание: от одной из этих частей отвесить (при помощи гири) 250 г. Останется 2 кг.

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    7. Смышлёный малыш

    Три брата получили 24 яблока, причём каждому досталось столько яблок, сколько ему было лет три года назад. Самый младший, мальчик очень смышлёный, предложил братьям такой обмен яблоками:

    — Я, — сказал он, — оставлю себе только половину имеющихся у меня яблок, а остальные разделю между вами поровну. После этого пусть средний брат тоже оставит себе половину, а остальные яблоки даст мне и старшему брату поровну, а затем и старший брат пусть оставит себе половину всех имеющихся у него яблок, а остальные разделит между мной и средним братом поровну.

    Братья, не подозревая коварства в таком предложении, согласились удовлетворить желание младшего. В результате… у всех оказалось яблок поровну. Сколько же лет было малышу и каждому из остальных братьев?

    В конце обмена у каждого из братьев оказалось по 8 яблок. Следовательно, у старшего перед тем, как он отдал половину яблок своим братьям, было 16 яблок, а у среднего и младшего — по 4 яблока.

    Далее, перед тем как делил свои яблоки средний брат, у него было 8 яблок, а у старшего — 14 яблок, у младшего — 2. Отсюда, перед тем как делил свои яблоки младший брат, у него оказалось 4 яблока, у среднего — 7 яблок и у старшего — 13.

    Так как каждый получил вначале столько яблок, сколько ему было три года назад, то младшему сейчас 7 лет, среднему брату 10 лет, а старшему 16.

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    8. Раздробить на части

    Раздробите 45 на четыре части так, что если к первой части прибавить 2, от второй отнять 2, третью умножить на 2, а четвёртую разделить на 2, то все результаты будут равными. Сумеете сделать?

    Искомые части 8, 12, 5 и 20.

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    9. Посадка деревьев

    Пятиклассникам и шестиклассникам было поручено посадить деревья по обе стороны улицы по равному количеству на каждой стороне.

    Чтобы не ударить лицом в грязь перед шестиклассниками, пятиклассники вышли на работу пораньше и успели посадить 5 деревьев, пока пришли старшие ребята, но оказалось, что они сажали деревья не на своей стороне.

    Пришлось пятиклассникам идти на свою сторону и вновь начинать работу. Шестиклассники, конечно, справились с задачей раньше. Тогда учитель предложил:

    — Пойдём, ребята, поможем пятиклассникам!

    Все согласились. Перешли на другую сторону улицы, посадили 5 деревьев, отдали, значит, долг, да ещё успели посадить 5 деревьев, и вся работа была закончена.

    — Хоть вы пришли раньше нас, а всё-таки мы вас обогнали, — посмеялся один шестиклассник, обращаясь к младшим ребятам.

    — Подумаешь, обогнали! На 5 деревьев только, — возразил кто-то.

    — Нет, не на 5, а на 10, — зашумели шестиклассники.

    Спор разгорался. Одни настаивают на том, что на 5, другие пытаются как-то доказать, что на 10. Кто же прав?

    Шестиклассники перевыполнили своё задание на 5 деревьев, а поэтому пятиклассники недовыполнили своё задание на 5 деревьев. Следовательно, старшие посадили на 10 деревьев больше, чем младшие.

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    10. Четыре теплохода

    В порту пришвартовались 4 теплохода. В полдень 2 января они одновременно покинули порт. Известно, что первый теплоход возвращается в этот порт через каждые 4 недели, второй — через каждые 8 недель, третий — через 12 недель, а четвёртый — через 16 недель.

    Когда в первый раз теплоходы снова сойдутся все вместе в этом порту?

    Наименьшее общее кратное чисел 4, 8, 12 и 16 — 48. Следовательно, теплоходы сойдутся через 48 недель, то есть 4 декабря.

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    Задачи для этой подборки взяты из сборника «Математическая смекалка» Бориса Кордемского, который выходил в издательстве «Альпина Паблишер».

    Читайте также 🔥

    Стратегии решения математических задач

    Математические задачи со словами могут быть сложными и часто сложными для решения. Использование метода SQRQCQ может сделать решение математических задач проще и менее пугающим. Метод SQRQCQ особенно полезен для детей с ограниченными возможностями обучения и может эффективно использоваться в программах специального образования. SQRQCQ — это сокращение от Survey, Question, Read, Question, Compute и Question.

    Шаг 1 — ОПРОС по математической задаче

    Первый шаг к решению задачи по математическому слову — прочитать задачу полностью, чтобы понять, что вас просят решить. После прочтения вы сможете определить наиболее важные аспекты проблемы, которые необходимо решить, и какие аспекты не имеют отношения к решению проблемы. Идея здесь состоит в том, чтобы получить общее представление.

    Шаг 2 — ВОПРОС

    Как только у вас появится представление о том, что вы пытаетесь решить, вам нужно определить, какие формулы, шаги или уравнения следует использовать, чтобы найти правильный ответ.Невозможно найти ответ, если вы не можете определить, что нужно решить. В основном, какие вопросы задает проблема?

    Шаг 3 — ПЕРЕЧИТАЙТЕ

    Теперь, когда вы определили, что нужно решить, перечитайте задачу и обратите пристальное внимание на конкретные детали. Определите, какие аспекты проблемы взаимосвязаны. Определите все соответствующие факты и информацию, необходимые для решения проблемы. Как вы это сделаете, запишите их.

    Шаг 4 — ВОПРОС

    Теперь, когда вы знакомы с конкретными деталями и тем, как взаимосвязаны различные факты и информация в задаче, определите, какие формулы или уравнения необходимо использовать для постановки и решения задачи.Обязательно запишите, какие шаги или операции вы будете использовать для удобства.

    Шаг 5 — ВЫЧИСЛЕНИЕ

    Используйте формулы и/или уравнения, указанные на предыдущем шаге, для завершения вычислений. Обязательно следуйте описанным шагам при настройке уравнения или использовании формулы. По мере выполнения каждого шага отмечайте его в своем списке.

    Шаг 6 — ВОПРОС

    После того, как вы завершили расчеты, просмотрите окончательный ответ и убедитесь, что он правильный и точный.Если это не кажется логичным, просмотрите шаги, которые вы предприняли, чтобы найти ответ, и поищите ошибки в расчетах или настройке. Пересчитайте числа или внесите другие изменения, пока не получите ответ, который имеет смысл.

    Как SQRQCQ помогает учащимся с ограниченными возможностями обучения?

    Математические задачи со словами, как правило, особенно сложны для учащихся с ограниченными возможностями обучения (LD). Студентам LD часто не хватает «концептуального образа» или способности визуализировать всю проблему, создавая полный мысленный образ.Они часто сразу же переходят к расчетам и расчетам, не понимая, о чем идет речь в задаче или что они ищут.

    Ученики LD также могут испытывать трудности с правильным пониманием слов или формулировок в задачах по математике. Неспособность правильно интерпретировать и понимать формулировки сильно влияет на их навыки математического мышления и часто приводит к неправильным расчетам и неверным выводам.

    Запоминание и обработка информации и деталей в рабочей памяти — еще одна проблема, с которой сталкиваются учащиеся LD, когда они пытаются увидеть картину целиком.Медленная обработка информации, сопровождаемая разочарованием и беспокойством, часто приводит к тому, что учащиеся с ограниченными возможностями стараются решить математические задачи как можно быстрее — вот почему они часто сразу переходят к вычислениям, пытаясь добраться до финиша как можно быстрее. насколько это возможно.

    SQRQCQ — это метакогнитивное руководство, которое предоставляет учащимся LD логический порядок решения математических задач. Этого достаточно, чтобы провести их через процесс рассуждения, не перегружая их.SQRQCQ также является мнемоникой, которую учащиеся легко запоминают и к которой они могут прибегать при выполнении домашних заданий или сдаче тестов.

    Читайте также:
    — Руководство по изучению математики

    Стратегии решения проблем GRE (для сдающих тест)

    Вопросы из раздела «Количественное мышление» общего теста GRE® требуют от вас моделирования и решения задач с использованием количественных или математических методов.Как правило, решение математической задачи состоит из трех основных шагов:

    • Шаг 1. Понимание проблемы
    • Шаг 2. Разработайте стратегию решения проблемы
    • Шаг 3. Проверьте свой ответ

    Вот описание трех шагов, за которым следует список полезных стратегий для решения математических задач.

    Шаг 1. Понимание проблемы

    Первый шаг — внимательно прочитать описание проблемы, чтобы убедиться, что вы понимаете предоставленную информацию и проблему, которую вам предлагается решить.

    Некоторая информация может описывать определенные количества. Количественная информация может быть представлена ​​словами или математическими выражениями, или их комбинацией. Кроме того, в некоторых задачах вам может понадобиться прочитать и понять количественную информацию в представлениях данных, геометрических фигурах или системах координат. Другая информация может принимать форму формул, определений или условий, которым должны удовлетворять величины. Например, условия могут быть уравнениями или неравенствами, или могут быть словами, которые можно перевести в уравнения или неравенства.

    Помимо понимания информации, которую вы получаете, важно понимать, что вам нужно сделать, чтобы решить проблему. Например, какие неизвестные величины необходимо найти? В какой форме они должны быть выражены?

    Шаг 2. Разработайте стратегию решения проблемы

    Решение математической задачи требует большего, чем понимание описания задачи, то есть большего, чем понимание величин, данных, условий, неизвестных и всех других математических фактов, связанных с задачей.Это требует определения того, какие математические факты использовать, когда и как использовать эти факты для разработки решения проблемы. Это требует стратегии.

    Математические задачи решаются с использованием самых разных стратегий. Кроме того, могут быть разные способы решения данной проблемы. Таким образом, вы должны разработать репертуар стратегий решения проблем, а также понять, какие стратегии лучше всего подходят для решения конкретных проблем. Попытка решить проблему без стратегии может привести к большой работе без получения правильного решения.

    После того, как вы определите стратегию, вы должны ее выполнить. Если вы застряли, проверьте свою работу, чтобы увидеть, не допустили ли вы ошибку в своем решении. Важно иметь гибкий, открытый образ мышления. Если вы проверяете свое решение и не можете найти ошибку или если ваша стратегия решения просто не работает, поищите другую стратегию.

    Шаг 3: проверьте свой ответ

    Когда вы получите ответ, вы должны убедиться, что он разумен и корректен с точки зрения вычислений.

    • Вы ответили на заданный вопрос?
    • Является ли ваш ответ разумным в контексте вопроса? Проверить правильность ответа можно так же просто, как вспомнить базовый математический факт и проверить, согласуется ли ваш ответ с этим фактом.Например, вероятность события должна быть от 0 до 1 включительно, а площадь геометрической фигуры должна быть положительной. В других случаях вы можете использовать оценку, чтобы проверить, является ли ваш ответ разумным. Например, если ваше решение включает сложение трех чисел, каждое из которых находится в диапазоне от 100 до 200, оценка суммы говорит вам, что сумма должна быть между 300 и 600.
    • Вы допустили ошибку в вычислениях при ответе? Ошибка при вводе ключа с помощью калькулятора? Вы можете проверить наличие ошибок на каждом этапе вашего решения.Или вы можете напрямую проверить правильность вашего решения. Например, если вы решили уравнение для x и получили ответ, вы можете проверить свой ответ, подставив в уравнение, чтобы увидеть, что .

    Стратегии

    Не существует установленных правил, применимых ко всем математическим задачам, для определения наилучшей стратегии. Способность определить стратегию, которая будет работать, растет по мере того, как вы решаете все больше и больше проблем. Далее следует краткое описание полезных стратегий.Вместе с каждой стратегией даны один или два примерных вопроса, на которые вы можете ответить с помощью стратегии. Эти стратегии не образуют полного списка, и, кроме группировки первых четырех стратегий, они не представлены в каком-либо определенном порядке.

    Первые четыре стратегии являются стратегиями перевода, когда одно представление математической задачи переводится в другое.

    Темы по алгебре: Введение в задачи Word

    Урок 9: Введение в задачи Word

    /ru/алгебра-темы/решение-уравнений/содержание/

    Что такое текстовые задачи?

    Задача на слов — это математическая задача, записанная в виде рассказа или сценария.По сути, он описывает реальную проблему и просит вас представить, как бы вы решили ее, используя математику. Если вы когда-либо посещали уроки математики, вы, вероятно, решали задачу со словами. Например, это звучит знакомо?

    У Джонни 12 яблок. Если он отдаст четыре Сьюзи, сколько у него останется?

    Вы можете решить эту проблему, взглянув на числа и выяснив, что эта проблема требует от вас сделать. В этом случае вы должны узнать, сколько яблок осталось у Джонни в конце задачи.Читая задачу, вы знаете, что Джонни начинает с 12 яблок. В итоге у него на 4 меньше, потому что он их раздал. Вы можете написать это как:

    12 — 4

    12 — 4 = 8 , значит, у Джонни осталось 8 яблок.

    Словесные задачи по алгебре

    Если вы смогли решить эту задачу, вы также сможете решать задачи по алгебре. Да, они включают в себя более сложную математику, но они используют те же основные навыки решения задач, что и более простые текстовые задачи.

    Вы можете решить любую задачу со словами, выполнив следующие пять шагов:

    1. Внимательно прочитайте задачу и выясните, о чем она.
    2. Представление неизвестного числа с переменными.
    3. Переведите оставшуюся часть задачи в математическое выражение.
    4. Решите проблему.
    5. Проверьте свою работу.

    Мы решим задачу по алгебре, используя следующие шаги.Вот типичная проблема:

    Стоимость аренды небольшого фургона составляет 30 долларов в день плюс 0,50 доллара за милю. Джада арендовала фургон, чтобы добраться до своего нового дома. Это заняло два дня, и фургон стоил 360 долларов. Сколько миль она проехала?

    На первый взгляд это может показаться сложным, но у нас уже есть вся информация, необходимая для ее решения. Давайте рассмотрим это шаг за шагом.

    Шаг 1: Внимательно прочитайте задачу.

    При возникновении любой проблемы начните с прочтения проблемы.Пока вы читаете, учтите:

    • Какой вопрос задает проблема?
    • Какая информация у вас уже есть?

    Давайте еще раз посмотрим на нашу проблему. Какой вопрос задает проблема? Другими словами, что вы пытаетесь выяснить?

    Стоимость аренды небольшого фургона составляет 30 долларов в день плюс 0,50 доллара за милю. Джада арендовала фургон, чтобы добраться до своего нового дома. Это заняло 2 дня, и фургон стоил 360 долларов. Сколько миль она проехала?

    Здесь только один вопрос.Мы пытаемся узнать сколько миль Джада проехала . Теперь нам нужно найти любую информацию, которая поможет нам ответить на этот вопрос.

    Есть несколько важных фактов, которые помогут нам определить общий пробег Джады:

    • Фургон стоил $30 в день.
    • Помимо ежедневных сборов, Jada платила 0,50 доллара за милю.
    • У Джады был фургон на 2 дней.
    • Общая стоимость составила $360 .
    Шаг 2: Представление неизвестных чисел с помощью переменных.

    В алгебре вы представляете неизвестные числа буквами, называемыми переменными . (Чтобы узнать больше о переменных, см. наш урок по чтению алгебраических выражений.) Вы можете использовать переменную вместо любой неизвестной вам величины. Глядя на нашу задачу, видите ли вы количество, которое мы должны представить с помощью переменной? Часто это номер, который мы пытаемся узнать.

    Стоимость аренды небольшого фургона составляет 30 долларов США в день плюс 0 долларов США.50 за милю. Джада арендовала фургон, чтобы добраться до своего нового дома. Это заняло 2 дня, и фургон стоил 360 долларов. Сколько миль она проехала?

    Поскольку мы пытаемся найти общее количество миль, равное , которое проехала Джада раз, мы будем представлять это количество с помощью переменной — по крайней мере, до тех пор, пока мы ее не узнаем. Мы будем использовать переменную м для миль . Конечно, мы могли бы использовать любую переменную, но m должно быть легко запоминающимся.

    Шаг 3: Переведите оставшуюся часть задачи.

    Давайте еще раз взглянем на проблему, выделив факты, которые мы будем использовать для ее решения.

    Стоимость аренды небольшого фургона составляет 30 долларов в день плюс 0,50 доллара за милю . Джада арендовала фургон, чтобы добраться до своего нового дома. На это ушло 2 дня , а фургон стоил 360 долларов . Сколько миль она проехала?

    Мы знаем общую стоимость фургона, и мы знаем, что она включает плату за количество дней плюс еще одну плату за количество миль.Это 30 долларов в день и 0,50 доллара за милю. Более простой способ сказать это будет:

    30 долларов в день плюс 0,50 доллара за милю составляют 360 долларов.

    Если вы посмотрите на это предложение и на исходную задачу, вы увидите, что они в основном говорят одно и то же: это стоило Джаде 30 долларов в день и 0,50 доллара за милю, а ее общая стоимость составила 360 долларов. Более короткую версию будет легче перевести в математическое выражение.

    Начнем с перевода 30 долларов в день . Чтобы рассчитать стоимость чего-то, что стоит определенную сумму в день, вы должны умножить стоимость в день на количество дней — другими словами, 30 в день можно записать как 30 ⋅дней, или 30 раз больше количества дней .(Не уверен, почему вы перевели это именно так? Посмотрите наш урок по написанию алгебраических выражений.)

    30 долларов в день и 0,50 доллара за милю составляют 360 долларов

    30 долларов США ⋅ день + 0,50 доллара США ⋅ миля = 360 долларов США

    Как видите, было несколько других слов, которые мы могли перевести в операторы, поэтому и 0,50 доллара стали + 0,50 доллара, 0,50 доллара за милю стали 0,50 доллара ⋅ миля, а равно . знак равно

    Далее мы добавим уже известные нам числа и переменные. Мы уже знаем количество дней, в течение которых Джада ездила, 2 , так что мы можем это заменить.Мы также уже сказали, что будем использовать м для представления количества миль, так что мы можем заменить и это. Мы также должны убрать знаки доллара с денежных сумм, чтобы они соответствовали другим числам.

    30 долларов США ⋅ день + 0,50 доллара США ⋅ миля = 360 долларов США

    30 ⋅ 2 + 0,5 ⋅ м = 360

    Теперь у нас есть выражение. Все, что осталось сделать, это решить ее.

    Шаг 4. Решите проблему.

    Для решения этой проблемы потребуется несколько шагов. (Если вы не знаете, как выполнять математические действия в этом разделе, вы можете просмотреть наш урок по упрощению выражений.) Во-первых, давайте максимально упростим выражение. Мы можем умножить 30 на 2, так что давайте сделаем это. Мы также можем записать 0,5 ⋅ м как 0,5 м .

    30 ⋅ 2 + 0,5 ⋅ м = 360

    60 + 0,5 м = 360

    Далее нам нужно сделать все возможное, чтобы получить m отдельно слева от знака равенства. Как только мы это сделаем, мы узнаем, чему равно 90 214 м 90 215, — другими словами, это позволит нам узнать количество миль в нашей текстовой задаче.

    Мы можем начать с избавления от 60 с левой стороны, вычитая его из с обеих сторон .

    Осталось избавиться только от .5 . Так как оно умножается на m , мы сделаем обратное и разделим обе части уравнения с ним.

    .5 м / .5 равно м и 300 / 0,50 равно 600 , поэтому м 601019 = .0 Другими словами, ответ на нашу задачу — 600 — теперь мы знаем, что Джада проехала 600 миль.

    Шаг 5: Проверьте проблему.

    Чтобы убедиться, что мы решили задачу правильно, мы должны проверить нашу работу. Для этого мы можем использовать только что полученный ответ — 600 — и вычислить в обратном порядке, чтобы найти другую величину в нашей задаче. Другими словами, если наш ответ для расстояния Джады верен, мы должны иметь возможность использовать его для работы в обратном направлении и найти другое значение, например, общую стоимость. Давайте еще раз взглянем на проблему.

    Стоимость аренды небольшого фургона составляет 30 долларов США в день плюс 0 долларов США.50 за милю. Джада арендовала фургон, чтобы добраться до своего нового дома. Это заняло 2 дня, и фургон стоил 360 долларов. Сколько миль она проехала?

    Согласно задаче, фургон стоит 30 долларов в день и 0,50 доллара за милю. Если бы Джада действительно проехала 600 миль за 2 дня, она могла бы рассчитать затраты следующим образом:

    .

    30 долларов в день и 0,50 доллара за милю

    30 ⋅ день + 0,5 ⋅ мили

    30 ⋅ 2 + 0,5 ⋅ 600

    60 + 300

    360

    Согласно нашим расчетам, фургон будет стоить 360 долларов, что и говорит задача.Это означает, что наше решение было правильным. Были сделаны!

    Хотя некоторые задачи со словами будут сложнее других, вы можете использовать эти основные шаги для решения любой задачи со словами. На следующей странице вы можете попробовать сами.

    Практика!

    Давайте потренируемся еще с парой задач. Вы можете решить эти проблемы так же, как мы решили первую — просто следуйте шагам решения проблем, которые мы рассмотрели ранее. Для справки, эти шаги:

    1. Внимательно прочитайте задачу и выясните, о чем она.
    2. Представление неизвестного числа с переменными.
    3. Переведите оставшуюся часть задачи в математическое выражение.
    4. Решите проблему.
    5. Проверьте свою работу.

    Если вы застряли, вы можете вернуться к задаче на странице 1. Вы также можете посмотреть наш урок по написанию алгебраических выражений, чтобы получить некоторые советы по переводу написанных слов в математику.

    Проблема 1

    Попробуйте решить эту задачу самостоятельно.Когда вы закончите, перейдите на следующую страницу, чтобы проверить свой ответ и увидеть объяснение шагов.

    Билет на ярмарку в один конец стоит 8 долларов. Семейный проездной стоит на 25 долларов больше, чем половина этой суммы. Сколько стоит семейный проездной?

    Проблема 2

    Вот еще задачка, которую можно решить самостоятельно. Как и в случае с последней проблемой, вы можете найти ответ и объяснение этой проблемы на следующей странице.

    Флор и Мо пожертвовали деньги на одну и ту же благотворительность. Флор дал в три раза больше, чем Мо.Вместе они пожертвовали 280 долларов. Сколько денег дал Мо?

    Задача 1 Ответ

    Вот Задача 1:

    Билет на ярмарку в один конец стоит 8 долларов. Семейный проездной стоит на 25 долларов больше, чем вдвое. Сколько стоит семейный проездной?

    Ответ: $29

    Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Мы решим ее так же, как решили задачу на странице 1.

    Шаг 1. Внимательно прочитайте проблему

    Первым делом при решении любой текстовой задачи нужно выяснить какой вопрос ставит перед вами задача и определить информацию, которая поможет вам ее решить .Давайте еще раз посмотрим на проблему. Вопрос тут же на виду:

    Билет на ярмарку в один конец стоит 8 долларов. Семейный проездной стоит на 25 долларов больше, чем вдвое. Сколько стоит семейный проездной?

    Итак, информация, которая нам понадобится, чтобы ответить на вопрос:

    • Билет в один конец стоит $8 .
    • Семейный проездной стоит $25 больше чем половина стоимости разового билета.
    Шаг 2: Представление неизвестных чисел с помощью переменных

    Неизвестное число в этой задаче — это стоимость семейного пропуска .Мы представим его переменной f .

    Шаг 3. Переведите оставшуюся часть задачи

    Давайте еще раз посмотрим на проблему. На этот раз выделены важные факты.

    Билет на ярмарку в один конец стоит 8 долларов . Семейный проездной стоит 90 174 – на 25 долларов США больше, чем в два раза больше, чем 90 175. Сколько стоит семейный проездной?

    Другими словами, можно сказать, что стоимость семейного проездного билета равна половине 8 долларов плюс 25 долларов . Чтобы превратить это в проблему, которую мы можем решить, нам нужно перевести ее в математику.Вот как:

    1. Сначала заменим стоимость семейного пропуска на нашу переменную f .
    2. f равно половине 8 долларов плюс 25 долларов

    3. Затем уберите знак доллара и замените такие слова, как плюс и равно операторами.
    4. f = половина от 8 + 25

    5. Наконец, переведите оставшуюся часть задачи. Половину числа можно записать как 1/2 раза или 1/2 ⋅ :
    6. f = 1/2 ⋅ 8 + 25

    Шаг 4: Решите задачу

    Теперь все, что нам нужно сделать, это решить нашу проблему.Как и с любой проблемой, мы можем решить эту, следуя порядку действий.

    1. f уже один в левой части уравнения, поэтому все, что нам нужно сделать, это вычислить правую часть.
    2. f = 1/2 ⋅ 8 + 25

    3. Сначала умножьте 1/2 на 8. 1/2 ⋅ 8 равно 4.
    4. f = 4 + 25

    5. Затем прибавьте 4 и 25. 4 + 25 равно 29 .
    6. f = 29

    Вот оно! f равно 29. Другими словами, стоимость семейного пропуска составляет 29 долларов.

    Шаг 5. Проверьте свою работу

    Наконец, давайте проверим нашу работу, действуя в обратном направлении от нашего ответа. В этом случае мы должны иметь возможность правильно рассчитать стоимость разового билета, используя стоимость, которую мы рассчитали для семейного проездного. Давайте еще раз посмотрим на исходную проблему.

    Билет на ярмарку в один конец стоит 8 долларов. Семейный проездной стоит на 25 долларов больше, чем вдвое. Сколько стоит семейный проездной?

    Мы подсчитали, что семейный проездной стоит 29 долларов. Наша задача говорит, что проездной стоит $25 больше чем половина стоимости одного билета.Другими словами, половина стоимости одного билета составит 25 долларов меньше , чем 29 долларов.

    1. Мы можем перевести это в следующее уравнение, где s означает стоимость одного билета.
    2. 1/2s = 29 — 25

    3. Давайте сначала поработаем с правой стороны. 29 — 25 равно 4.
    4. 1/2s = 4

    5. Чтобы найти значение s , мы должны найти его в левой части уравнения. Это означает избавление от 1/2. Для этого умножим каждую сторону на , обратное от 1/2:2.
    6. s = 8

    Согласно нашей математике, s = 8. Другими словами, если семейный билет стоит 29 долларов, то билет в один конец будет стоить 8 долларов. Глядя на нашу исходную проблему, это правильно!

    Билет на ярмарку в один конец стоит 8 долларов. Семейный проездной стоит на 25 долларов больше, чем вдвое. Сколько стоит семейный проездной?

    Итак, теперь мы уверены в ответе на нашу проблему: стоимость семейного проездного билета составляет 29 долларов.

    Задача 2 Ответ

    Вот Задача 2:

    Флор и Мо пожертвовали деньги на одну и ту же благотворительность.Флор пожертвовал в три раза больше, чем Мо. Вместе они пожертвовали 280 долларов. Сколько денег дал Мо?

    Ответ: $70

    Давайте рассмотрим эту проблему шаг за шагом.

    Шаг 1. Внимательно прочитайте проблему

    Начните с вопроса , какой вопрос ставит перед вами проблема , и определите информацию , которая поможет вам ее решить . В чем здесь вопрос?

    Флор и Мо пожертвовали деньги на одну и ту же благотворительность.Флор пожертвовал в три раза больше, чем Мо. Вместе они пожертвовали 280 долларов. Сколько денег дал Мо?

    Чтобы решить задачу, вам нужно узнать, сколько денег Мо пожертвовал на благотворительность. Вся необходимая информация есть в задаче:

    • Сумма, пожертвованная Флор, в три раза больше сумма, пожертвованная Мо
    • Сумма пожертвований Флор и Мо составляет $280 всего
    Шаг 2: Представление неизвестных чисел с помощью переменных

    Неизвестный номер, который мы пытаемся определить в этой задаче, — это пожертвование Мо .Мы представим его переменной m .

    Шаг 3. Переведите оставшуюся часть задачи

    Опять проблема. На этот раз выделены важные факты.

    Флор и Мо пожертвовали деньги на одну и ту же благотворительность. Флор дал в три раза больше, чем Мо . Они вдвоем, , пожертвовали 280 долларов . Сколько денег дал Мо?

    Важные факты проблемы можно выразить и так:

    Пожертвование Мо плюс пожертвование Флор равно $280

    Поскольку мы знаем, что пожертвование Флор равно , в три раза больше , чем пожертвование Мо, мы могли бы пойти еще дальше и сказать:

    .

    Пожертвование Мо плюс тройное пожертвование Мо равняется 280 долларов

    Мы можем перевести это в математическую задачу всего за несколько шагов.Вот как:

    1. Поскольку мы уже сказали, что будем представлять сумму пожертвования Мо переменной m , давайте начнем с замены пожертвования Мо на m .
    2. m плюс три умноженных на m равно $280

    3. Далее мы можем вставить математических операторов вместо определенных слов. Мы также уберем знак доллара.
    4. m + трижды m = 280

    5. Наконец, давайте математически запишем трижды . Трижды м также можно записать как 3 м или просто 3 м .
    6. м + 3 м = 280

    Шаг 4: Решение задачи

    Для решения этой проблемы потребуется всего несколько шагов.

    1. Чтобы получить правильный ответ, нам нужно получить м только в одной части уравнения.
    2. м + 3м = 280

    3. Для начала добавим м и 3 м . Это 4 м .
    4. 4m = 280

    5. Мы можем избавиться от 4 рядом с m , разделив с обеих сторон на 4.
    6. м = 70.

    Мы получили ответ: м = 70 . Другими словами, Мо пожертвовал 70 долларов .

    Шаг 5. Проверьте свою работу

    Ответ на нашу задачу: $70 , но мы должны проверить, чтобы быть уверенным. Давайте еще раз посмотрим на нашу проблему.

    Флор и Мо пожертвовали деньги на одну и ту же благотворительность. Флор пожертвовал в три раза больше, чем Мо. Вместе они пожертвовали 280 долларов. Сколько денег дал Мо?

    Если наш ответ правильный, 70 долларов и три раза по 70 долларов должны в сумме составить 280 долларов.

    1. Мы можем написать наше новое уравнение следующим образом:
    2. 70 + 3 ⋅ 70 = 280

    3. Порядок операций требует, чтобы мы сначала умножали. 3 ⋅ 70 равно 210.
    4. 70 + 210 = 280

    5. Последний шаг — сложить 70 и 210. 70 плюс 210 равно 280.
    6. 280 = 280

    280 — общая стоимость билетов в исходной задаче. Наш ответ правильный : Мо пожертвовал 70 долларов на благотворительность.

    /ru/алгебра-темы/расстояние-слово-проблемы/содержание/

    Как помочь детям понять задачи по математике

    Терпение и практика — два ключевых момента!

    Математические текстовые задачи детям сложно решать, потому что они требуют умения анализировать данные и извлекать только необходимую информацию.Вместо того, чтобы им говорили, какую операцию им нужно выполнить, они должны выяснить это сами, прежде чем приступить к решению проблемы. В результате дети часто пытаются правильно решить текстовые задачи, что приводит к разочарованию и неудовлетворенности своей работой.

     

    Не существует быстрого способа помочь детям понять текстовые задачи, но есть несколько стратегий и подсказок, которые могут помочь. Если у вашего ребенка проблемы с решением текстовых задач, рассмотрите следующие стратегии.

    • Выделение: Важная информация должна быть выделена маркером. Словесные задачи могут быть пугающими, но вы можете помочь своему ребенку разобрать их, выделив только те части проблемы, которые имеют отношение к ним. Научите их подчеркивать важные числа и фразы в математических задачах, чтобы они могли сосредоточиться на том, что важно, и игнорировать остальное.
    • Извлечение информации: Числа должны быть удалены из уравнения.Важно помнить, что задачи со словами сложны не из-за того, что они связаны с математикой, а потому, что детям трудно извлечь из них правильную информацию. Составьте для ребенка задачку со стертыми цифрами. После того, как они закончат читать, спросите их, является ли это задачей на умножение, деление, сложение или вычитание.
    • Визуализация: Вы можете использовать наглядные пособия, чтобы помочь детям запомнить текстовые задачи. Да, это чрезвычайно полезный инструмент для обучения математическим задачам.Например, для словесной задачи, связанной с ирисками, дайте им ириски и попросите визуализировать проблему с ними. Они считают, что текстовые задачи легко решать и с ними приятно работать.
    • Поэтапная работа: Большинству детей требуется система, которой они должны следовать. Поэтому мы рекомендуем вам научить их простой стратегии решения текстовых задач. Пожалуйста, убедитесь, что выбранная вами стратегия менее сложная и понятная для них.Вот пример плана задач по математике: в качестве первого шага попросите их прочитать вопрос и подумать, что он означает. Во-вторых, попросите их перечитать вопрос и убедиться, что они понимают, о чем он спрашивает. Третий шаг — спланировать свой подход и рассмотреть наилучшее решение. В-четвертых, решив, какую операцию использовать, приступайте к решению задачи. Наконец, перепроверьте свою работу, чтобы убедиться, что ваши математические расчеты верны.
    • Практика: «Практика делает совершенным!» это фраза, которую вы, вероятно, слышали раньше.В то время как многие дети находят словесные задачи сложными, повторное воздействие — единственный способ улучшить компетентность. Благодаря множеству онлайн-ресурсов легко найти в Интернете рабочие листы для печати по математике!
    • Рабочие листы в формате PDF удобны тем, что они широко доступны и доступны даже во время школьных каникул и выходных. Если вашему ребенку нужно больше практики в решении текстовых задач, их можно легко найти в Интернете, независимо от домашней работы, которую ваш ребенок ежедневно приносит домой.
    • Такие ресурсы также можно найти на таких сайтах, как SpeEdLabs.in

     

    Словесные задачи сложны, и в результате многие дети разочаровались! Но не бойтесь: с достаточной практикой и правильными приемами ваш ребенок сможет справиться с задачами по математике и улучшит свои способности решать задачи! Делайте перерывы и разнообразьте занятия вашего ребенка, работая в его собственном темпе.

     

    Чем заняться: в следующий раз, когда ваши дети будут решать текстовые задачи
    1. Медленно и внимательно несколько раз прочитайте текстовые задачи, чтобы все учащиеся поняли.
    2. Если возможно, разбейте проблему на более мелкие части.
    3. Разрешите учащимся разыгрывать текстовые задачи, чтобы лучше понять, что их просят сделать.
    4. Чтобы помочь учащимся визуализировать проблему, предоставьте манипуляторы.
    5. Совершайте полевые или пешие прогулки, чтобы определить расстояние, скорость и площадь покрытия, среди прочего.
    6. Чтобы вычислить проценты, различия и математические навыки более высокого порядка, предложите учащимся пройти опросы, интервью и практические исследования в реальных ситуациях.
    7. Позвольте учащимся создавать диаграммы или рисунки, чтобы помочь им понять проблемы.

     

    Ключевые выводы 

    Вы должны понимать, что текстовые задачи существенно отличаются от традиционных математических задач и что эти задачи требуют развития у детей другого набора навыков под надлежащим руководством. В результате, как учитель или родитель, вы должны помогать учащимся оттачивать свое критическое мышление и аналитические навыки посредством постоянной практики, чтобы они могли успешно решать различные математические задачи.


    Также опубликовано на Medium.

    Математические задачи от Good Will Hunting, с решениями | by Jørgen Veisdal

    Фото : © 1997 Miramax Pictures

    Цель этой статьи — рассказать вам о решениях двух математических задач, решенных вымышленным персонажем Уиллом в оскароносном фильме 1997 года «Умница Уилл Хантинг». Повествование в значительной степени основано на превосходной статье «Математика в охоте за доброй волей II: проблемы с точки зрения студентов » Хорвата, Коранди и Сабо (2010).

    Музыка для настроения Spotify. Приятного чтения!

    Краткое изложение Умница Уилл Хантинг рассказывает историю вымышленного персонажа Уилла Хантинга, который, несмотря на свой исключительный интеллект, работает уборщиком в Массачусетском технологическом институте в Бостоне. Там он однажды замечает задачу на доске в коридоре, поставленную профессором Джеральдом Ламбо, обладателем медали Филдса. Обладая эйдетической памятью, Уилл запоминает задачу и решает ее перед зеркалом в своей ванной дома в Южном Бостоне.Вернувшись на следующий день в Массачусетский технологический институт, он не может ничего с собой поделать, но анонимно представляет свое решение на доске.

    Когда на следующий день ни один из студентов Ламбо не претендует на зачет, профессор ставит другую, более сложную задачу. Уилл снова решает ее, но профессор ловит его в момент написания своего решения, который потрясен, узнав, что самый блестящий молодой математик в Массачусетском технологическом институте — необразованный уборщик.

    Профессор Джеральд Ламбо (в исполнении Стеллана Скарсгарда) просматривает предложенное Уиллом решение. Фото : © 1997 Miramax Pictures
      Задача 1. По графу G найти  1. Матрицу смежности A 
    2. Матрицу, задающую количество трехшаговых обходов
    3. Производящую функцию для обходов из i → j
    4. Производящая функция для блужданий от 1 → 3
    Рисунок 1: Граф G

    Первая задача теории графов требует количества блужданий от вершины i до вершины j в графе G Для этого пусть G — граф с множеством вершин V = {1, 2, 3, 4} и множеством ребер E = {(1,2), (1,4), (2,4), ( 2,3),(2,3)}, где (2,3) — двойное ребро.

    Решения задачи 1

      Задача 1.1  
    Для заданного графа G найдите матрицу смежности A

    Матрица смежности — это квадратная матрица, используемая для представления конечного графа. Элементы матрицы смежности L указывают, являются ли пары вершин в графе смежными или нет. Для простого графа с набором вершин V матрица смежности представляет собой квадрат |L| × |Л| матрица такая, что ее элемент L ᵢⱼ равен 1, когда существует одно ребро из вершины i в вершину j , 2, когда их два, и нулю, когда нет ребер из вершины i в вершину j.Все диагональные элементы матрицы равны нулю, так как ребра из вершины i в саму себя (петли) не допускаются в простых графах. Для всех ступенчатых обходов длины 1 вдоль множества ребер E это дает нам следующую матрицу смежности для графа G:

    Решение 1.1. Реберные элементы от вершин i до j и матрица смежности графа G, показывающая количество ребер между вершинами i и j найти матрицу, кодирующую все возможные прогулки длины 3 (Knill, 2003).То есть найти количество различных последовательностей ребер, соединяющих каждую отдельную последовательность вершин.

    n + 1 шаг от i до j состоит из n шагов от i до k и затем 1 шаг от 1 j до 5 k То есть запись ij L ⁿ⁺¹ задается суммой:

    Equation 1

    Что на английском языке для этой задачи гласит, что «количество обходов длины 3 из вершины i в j» равно сумма «количества прогулок длины 2 от вершины i до , умноженная на «количество прогулок длины 1 от вершины k до j» для k = 1,2.Путем умножения матриц для всех ступенчатых обходов длины 3 от i до j получается следующая матрица:

    Решение 1.2. Матрица, представляющая число 3 обходов из вершины i в j в графе G
      Задача 1.3  
    Найти производящую функцию для обходов из i → j

    Третья задача в задаче 1 запрашивает производящую функцию из вершины i от до и . Чтобы ответить на этот вопрос, Хорват и др. (2010) рассмотрели аналитическую производящую функцию, определяемую степенным рядом

    Уравнение 2

    Где коэффициент zⁿ обозначает количество n ступенчатых обходов от i до j .Из задачи 1.3 мы нашли, что ω_n(i → j) является элементом ij матрицы Lⁿ . В задаче требуется производящая функция, которая дает все элементы одновременно, поэтому имеет смысл рассмотреть матрицу L , заданную знакомым степенным рядом (Horváth et al, 2010):

    Уравнение 3

    Где Lⁿ — это матрица, содержащая количество ступенчатых обходов от каждой вершины i до j (общий случай решения задачи 1.2). Сумма может быть рассчитана с использованием известного тождества для геометрического степенного ряда, а именно:

    Уравнение 4

    Чтобы вычислить обратное выражение ( I z × L) , мы можем использовать правило Крамера. Согласно Horváth et al (2010) для матрицы M пусть Mᵢⱼ обозначает матрицу, полученную из M удалением i -го столбца и j -й строки. Если мы это сделаем, мы получим матрицу N, ij которой соответствует

    . × M = I_n ), то

    Уравнение 6

    То есть запись ij обратной матрицы M: × L ), получаем:

    Уравнение 8

    Подставляя M:

    Решение 1.(i+j) (вероятно, из-за обозначений), и он обозначает единичную матрицу с 1 вместо более распространенного I .

      Задача 1.4  
    Найти производящую функцию для блужданий от 1 → 3

    Для решения задачи 1.4 просто применим общую формулу для блужданий от i к j (из задачи 1.3) к случаю блужданий от 1 → 3 :

    Уравнение 9.

    , детерминанты которых тривиальны для поиска:

    уравнение 10 и 11. детерминанты ( I — ZL ) и его несовершеннолетний / уменьшенный детерминант ( I ₁₃ — ZL ₁₃)

    следующие выражения, получить, используя определение определителя:

    Уравнение 12. Формула для определения производящей функции для блужданий из вершины 1 в вершину 3. Уравнение 13. Формула для определения значений производящей функции для блужданий из вершины 1 в вершину 3, решенная

    Чтобы получить коэффициенты этого степенного ряда, вычисляют ряд Тейлора функции:

    Уравнение 14. Функция для вычисления ряда Тейлора для f(z), ряда Маклорена, где fⁿ(0) — n-я производная от f в точке 0.

    Для нашего выражения f(z ), мы можем использовать правило частных, где g(z) = 2z² и h(z) = 4z³− 6z² −z +1.В фильме Уилл приводит значения первых шести производных разложения f(z):

    Решение 1.4. Разложение Тейлора для определения значений производящей функции для блужданий из вершины 1 в вершину 3А потрясенный профессор Ламбо смотрит на правильное решение второй задачи, данное анонимным уборщиком, которого он только что прогнал. Фото : © 1997 Miramax Pictures

    Поскольку Уилл не подписал свою работу на доске для решения первой задачи, профессор Ламбо поставил вторую задачу, о которой он сообщает своему классу «у нас ушло более двух лет». доказать» .Задача снова касается древовидных структур:

      Задача 2  
    a. Сколько существует деревьев с n помеченными вершинами?
    б. Нарисуйте все гомоморфно неприводимые деревья с n = 10

    Решения задачи 2

    Как указывают Horváth et al (2010), задача 2.1 на самом деле просто запрашивает формулу Кэли, согласно которой для каждого положительного целого числа n количество деревьев на n -помеченных вершин равно nⁿ⁻². Формула названа в честь Артура Кэли, но известна с тех пор, как была открыта Карлом Вильгельмом Борхардтом в 1860 году.В заметке Кэли 1889 года Теорема о деревьях в Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics он расширил формулу, приняв во внимание степени вершин, и с тех пор она носит его имя. Есть несколько известных доказательств результата.

    Последнее задание, задача 2.2, требует отрисовки всех гомоморфно неприводимых деревьев с n = 10. Гомоморфно неприводимое дерево — это дерево, не имеющее точек степени 2. Задача, вероятно, была вдохновлена ​​статьей Число гомоморфно Нередуцируемые деревья и другие виды Харари и Принс (1959).

    Мы можем сгруппировать гомоморфно неприводимые деревья, пометив их вершины цифрами 1,…., 10 и степени их вершин цифрами d₁, …,d₁₀ (Horváth et al, 2010). Поскольку у деревьев 10 вершин, мы знаем, что у них 9 ребер. Мы можем классифицировать эти различные деревья по количеству их листьев (узлы/вершины степени вершины 1):

    • Если есть 9 листьев и 1 нелист, то мы получаем «звезду», единственную вершину, соединенную с каждым листом :
    • Если 8 листьев и 2 нелиста, то d₁ + d₂ = 10 и d₁ ≥ d₂ ≥ 3, поэтому либо: a) d₁ =7 и d₂ = 3 (одно дерево), или b ) d₁ = 6 и d₂ = 4 (одно дерево), или c) d₁ = d₂ = 5 (одно дерево).
    Гомоморфно неприводимые деревья с 8 листьями
    • Если 7 листьев , то d₁ + d₂ + d₃ = 11 и d₁ ≥ d₂ ≥d₃ ≥ 3, поэтому либо а) d₁ = d₂ = 5 и d₃ = 3 (два дерева) , или б) d₁ = 5 и d₂ = d₃ = 3 (три дерева).
    а) Гомоморфно неприводимые деревья с 7 листьями и d₁ ) d₂ = 5 и d₃ = 3б) Гомоморфно неприводимые деревья с 7 листьями и d₁ = 5 и d₂ = d₃ = 3
    • Если листьев 6, то d₁ + d₂ + d₃ +d₄ = 3.
    Гомоморфно неприводимые деревья с 6 листьями и d₁ = d₂ = d₃ = d₄ = 3

    Итого получается 10 деревьев с n=10.На доске в фильме появляется только 8, либо потому, что Уилла прервал профессор Ламбо, либо из-за недосмотра со стороны создателей фильма.

    В ранних версиях сценария «Умница Уилл Хантинг» персонаж Уилл был вундеркиндом физиком, но Шелдон Глэшоу из Гарварда предположил, что речь идет о математике, поскольку современная физика — это «обычно групповой проект», тогда как «делает какая-то математическая теорема очень часто является единичным предприятием» (Лондон, 2016).Консультантом по математике фильма был профессор физики Университета Торонто, покойный Патрик О’Доннелл.

    Было высказано предположение, что персонаж Уилла основан на вундеркинде Уильяме Сидисе (1898–1944), известном своими исключительными математическими способностями.

    Решение словесных вопросов

    МНОГО примеров!

    В алгебре у нас часто возникают словесные вопросы, например:

    Пример: Сэм и Алекс играют в теннис.

    В выходные Сэм сыграл на 4 игры больше, чем Алекс, а вместе они сыграли 12 игр.

    Сколько игр сыграл Алекс?

    Как их решить?

    Хитрость заключается в том, чтобы разбить решение на две части:

    Превратите английский в алгебру.

    Затем используйте алгебру для решения.

    Превращение английского языка в алгебру

    Превратить английский язык в алгебру поможет:

    • Сначала прочитайте все
    • Сделайте набросок если возможно
    • Назначить букв для значений
    • Найти или вычислить формул

    Вы также должны записать то, что на самом деле запрашивается , чтобы вы знали, куда вы идете и когда вы прибыли!

    Также ищите ключевые слова:

    Когда увидишь   Подумай

    добавить, итого, сумма, увеличить, больше, вместе, вместе, плюс, более

      +

    минус, меньше, разность, меньше, меньше, меньше

     

    умножить, раз, произведение, коэффициент

      ×

    разделить, частное, на, вне, отношение, отношение, процент, показатель

      ÷
    увеличить или уменьшить   геометрия
    формулы
    Скорость, скорость   расстояние
    формулы
    Как долго, дни, часы, минуты, секунды   время

    Мыслить ясно

    Некоторые формулировки могут быть сложными, из-за чего трудно думать «правильно», например:

    $

    Пример: У Сэма на 2 доллара меньше, чем у Алекса.Как мы запишем это в виде уравнения?

    • Пусть S = доллары У Сэма есть
    • Пусть A = долларов У Алекса есть

    Теперь… это: S − 2 = A

    или должно быть: S = A — 2

    или должно быть: S = 2 — A

     

    Правильный ответ S = A − 2

    ( S − 2 = A — распространенная ошибка, так как вопрос пишется «Сэм… на 2 меньше… Алекс»)

    Пример: на нашей улице собак вдвое больше, чем кошек.Как мы запишем это в виде уравнения?

    • Пусть D = количество собак
    • Пусть C = количество кошек

    Теперь… это что: 2D = C

    или должно быть: D = 2C

    Подумайте хорошенько!

    Правильный ответ: D = 2C

    ( 2D = C — распространенная ошибка, так как вопрос пишется «дважды… собаки… кошки»)

    Примеры

    Давайте начнем с действительно простого примера , чтобы мы увидели, как это делается:

    Пример: прямоугольный сад размером 12 м на 5 м, какова его площадь?

     

    Превратите английский в алгебру:

    Эскиз:

    Буквы:

    • Используйте ш для ширины прямоугольника: ш = 12 м
    • Используйте h для высоты прямоугольника: h = 5 м

    Формула для площади прямоугольника: A = w × h

    Нас спрашивают о Районе.

     

    Решить:

    A = ш × в = 12 × 5 = 60 м 2

    Площадь 60 квадратных метров .

    Теперь давайте попробуем пример из верхней части страницы:

    Пример: Сэм и Алекс играют в теннис. В выходные Сэм сыграл на 4 игры больше, чем Алекс, а вместе они сыграли 12 игр. Сколько игр сыграл Алексей?

     

    Превратите английский в алгебру:

    Буквы:

    • Используйте S для того, сколько игр сыграл Сэм
    • Используйте A для того, сколько игр сыграл Алекс

    Мы знаем, что Сэм сыграл на 4 игры больше, чем Алекс, поэтому: S = A + 4

    А мы знаем, что вместе они сыграли 12 игр: S + A = 12

    Нас спрашивают, сколько игр сыграл Алекс: A

     

    Решить:

    Начните с: S + A = 12

    S = A + 4 , поэтому мы можем
    заменить «A + 4» на S: (A + 4) + A = 12

    Упростить: 2А + 4 = 12

    Вычесть 4 с обеих сторон: 2A = 12 − 4

    Упростить: 2A = 8

    Разделите обе части на 2:А = 4

    Это означает, что Алекс сыграл 4 игры в теннис.

     

    Проверка: Сэм сыграл на 4 игры больше, чем Алекс, поэтому Сэм сыграл 8 игр. Вместе они сыграли 8 + 4 = 12 игр. Да!

    Чуть более сложный пример:

    Пример: Алекс и Сэм тоже строят столы.


    Вместе они делают 10 столов за 12 дней.

    Алекс, работая в одиночку, может сделать 10 штук за 30 дней.

    Сколько времени потребуется Сэму, работающему одному, чтобы сделать 10 столов?

     

    Превратите английский в алгебру:

    Буквы:

    • Используйте a для скорости работы Алекса
    • Используйте s для скорости работы Сэма

    12 дней Алекса и Сэма это 10 столов, значит: 12а + 12с = 10

    30 дней одного Алекса тоже 10 столов: 30а = 10

    Нас спрашивают, сколько времени потребуется Сэму, чтобы сделать 10 столов.

    Решить:

    30a = 10 , поэтому ставка Алекса (столов в день): a = 10/30 = 1/3

    Начните с: 12a + 12s = 10

    Поставьте «1/3» вместо: 12(1/3) + 12s = 10

    Упростить: 4 + 12 с = 10

    Вычесть 4 с обеих сторон: 12s = 6

    Разделите обе части на 12: с = 6/12

    Упростить: с = 1/2

    Это означает, что ставка Сэма составляет полтаблицы в день (быстрее, чем у Алекса!)

    Итак, на 10 столов Сэму потребуется всего 20 дней.

    Интересно, Сэму должны платить больше?

    И еще пример «подстановки»:

    Пример: Дженна усердно тренируется, чтобы пройти отбор на Национальные игры.

    У нее регулярный еженедельный распорядок: в некоторые дни она тренируется по пять часов в день, а в остальные дни по 3 часа.

    Всего она тренируется 27 часов в неделю. Сколько дней она тренируется по пять часов?

    Буквы:

    • Количество «5-часовых» дней: д
    • Количество «3-х часовых» дней: e

    Мы знаем, что в неделе семь дней, поэтому: d + e = 7

    И она тренируется 27 часов в неделю, с d 5-часовыми днями и e 3-часовыми днями: 5d + 3e = 27

    Нас спрашивают сколько дней она тренируется по 5 часов :d

     

    Решить:

      d + e = 7

    Итак: e = 7 − d

    Поместите это в 5d + 3e = 27 5d + 3(7−d) = 27

    Упростить: 5d + 21 − 3d = 27

    Вычесть 21 с обеих сторон: 5d − 3d = 6

    Упростить: 2d = 6

    Разделить обе стороны на 2: d = 3

    Количество «5-часовых» дней равно 3

    Чек : Она тренируется по 5 часов 3 дня в неделю, поэтому она должна тренироваться по 3 часа в день в остальные 4 дня недели.

    3 × 5 часов = 15 часов плюс 4 × 3 часа = 12 часов дает в сумме 27 часов

    Несколько примеров из геометрии:

    Пример: площадь круга 12 мм

    2 , каков его радиус?

    Буквы:

    • Используйте A для области: A = 12 мм 2
    • Используйте r для радиуса

    И формула для площади: A = π r 2

    Нас спрашивают о радиусе.

    Решить:

    Нам нужно изменить формулу, чтобы найти площадь

    Начните с: A = π r 2

    Поменять стороны местами: π r 2 = A

    Разделите обе части на π : r 2 = A / π

    Извлечь квадратный корень из обеих сторон: r = √(A / π)

    Теперь мы можем использовать формулу: r = √(12/ π)

    И получаем: r = 1.954 (до 3 мест)

    Пример: куб имеет объем 125 мм

    3 , какова площадь его поверхности?

    Сделать быстрый набросок:

    Буквы:

    • Используйте V для тома
    • Используйте A для Зоны
    • Используйте s для длины стороны куба

    Формулы:

    • Объем куба: V = s 3
    • Площадь поверхности куба: A = 6s 2

    Нас спрашивают о площади поверхности.

    Решить:

    Сначала вычислите s , используя формулу объема:

    Начните с: В = с 3

    Поменять стороны местами: с 3 = V

    Извлечь кубический корень из обеих сторон: s = ∛(V )

    И получаем: с = ∛(125 ) = 5

    Теперь мы можем рассчитать площадь поверхности:

    Начните с: А = 6 с 2

    И получаем: А = 6(5) 2

      А = 6 × 25 = 150 мм 2

    Пример про Деньги:

    Пример: Джоэл работает в местной пиццерии.Когда он работает сверхурочно, он зарабатывает в 1¼ раза больше обычной ставки.

    Одну неделю Джоэл работал 40 часов по обычной ставке, а также работал сверхурочно 12 часов. Если Джоэл в общей сложности заработал 660 долларов за эту неделю, какова его нормальная ставка?

     

    Буквы:

    • Обычная ставка Джоэла: $N в час

    Формулы:

    • Джоэл работает 40 часов по N долларов в час = 40N долларов
    • Когда Джоэл работает сверхурочно, он зарабатывает в 1¼ раза больше обычной ставки = 1 доллар.25 Н в час
    • Джоэл работает 12 часов за 1,25 н. долл. США в час = (12 × 1¼ н.у.) = 15 н. долл. США
    • И вместе он заработал 660 долларов, так что:

    $40N + $(12 × 1¼N) = $660

    Нас спрашивают об обычной ставке Джоэла $N.

     

    Решить:

    Начните с $40N + $(12 × 1¼N) = $660

    Упрощение: 40 тысяч долларов + 15 тысяч долларов = 660 долларов

    Упростите больше: 55 тысяч долларов = 660 долларов

    Разделите обе части на 55: $N = $12

    Итак, нормальная ставка Джоэла составляет 12 долларов в час.

    Чек

    Обычная ставка Джоэла составляет 12 долларов в час, поэтому его ставка сверхурочной работы составляет 1¼ × 12 долларов в час = 15 долларов в час.Таким образом, его обычная заработная плата 40 × 12 = 480 долларов плюс оплата сверхурочных 12 × 15 = 180 долларов дает нам в сумме 660

    долларов.

    Подробнее о деньгах, с этими двумя примерами, связанными со сложными процентами

    Пример: Алекс кладет в банк 2000 долларов под сложные проценты в размере 11% годовых. Сколько он будет стоить через 3 года?

    Это формула сложных процентов:

    Итак, мы будем использовать эти буквы:

    • Приведенная стоимость PV = 2000 долларов США
    • Процентная ставка (в виде десятичной дроби): r = 0.11
    • Количество периодов: n = 3
    • Будущая стоимость (значение, которое мы хотим): FV

    Нас спрашивают о будущей стоимости: FV

     

    Решить:

    Начните с: FV = PV × (1+r) n

    Подставьте то, что мы знаем: FV = $2000 × (1+0,11) 3

    Рассчитать: FV = $2000 × 1,367631

    Расчет: FV = 2735 долларов США.26 (с точностью до цента)

    Пример: Роджер положил 1000 долларов на сберегательный счет. Начисленные проценты начислялись ежегодно по той же ставке. Через девять лет депозит Роджера вырос до $1551,33

    Какова была годовая процентная ставка по сберегательному счету?

    Формула сложных процентов:

    С:

    • Приведенная стоимость PV = 1000 долларов США
    • Процентная ставка (значение, которое мы хотим): r
    • Количество периодов: n = 9
    • Будущая стоимость: FV = 1551 доллар.33

    У нас запрашивают процентную ставку: r

     

    Решить:

    Начните с: FV = PV × (1+r) n

    Введите то, что мы знаем: 1551,33 доллара США = 1000 долларов США × (1+r) 9

    Поменять местами: 1000 долл. США × (1+r) 9 = 1551,33 долл. США

    Разделите обе части на 1000: (1+r) 9 = 1551,33 долл. США / 1000 долл. США

    Упрощение: (1+r) 9 = 1.55133

    9-й корень: 1+r = 1,55133 (1/9)

    Рассчитать: 1+r = 1,05

    Рассчитать: r = 0,05 = 5%

    Таким образом, годовая процентная ставка составляет 5%

    Чек : 1000 долл. США × (1,05) 9 = 1000 долл. США × 1,55133 = 1551,33 долл. США

    И пример вопроса о соотношении:

    Пример: В начале года соотношение мальчиков и девочек в классе 2 : 1

    Но сейчас, спустя полгода, из класса ушли четыре мальчика и две новые девочки.Соотношение мальчиков и девочек теперь 4 : 3

    Сколько сейчас всего учеников?

    Буквы:

    • Количество мальчиков сейчас: б
    • Количество девушек сейчас: г

    Коэффициент текущей ликвидности 4 : 3

    б г = 4 3

    Который можно переставить в 3b = 4g

    В начале года насчитывалось (b + 4) мальчиков и (g − 2) девочек, соотношение 2 : 1

    б + 4 г — 2 = 2 1

    Которое можно преобразовать в b + 4 = 2(g − 2)

    Нас спрашивают, сколько сейчас всего учеников: b + g

    Решить:

    Начните с: б + 4 = 2(г — 2)

    Упростить: б + 4 = 2г — 4

    Вычесть 4 с обеих сторон: b = 2g − 8

    Умножаем обе части на 3 (получаем 3b): 3b = 6g − 24

    Помните 3b = 4g : 4g = 6g − 24

    Вычесть 6g с обеих сторон : −2g = − 24

    Разделите обе части на −2: г = 12

    Есть 12 девушек !

    И 3b = 4g , так что b = 4g/3 = 4 × 12/3 = 16 , так что 16 мальчиков

    Итак, теперь в классе 12 девочек и 16 мальчиков, всего 28 учеников .

    Чек

    Сейчас 16 мальчиков и 12 девочек, поэтому соотношение мальчиков и девочек 16 : 12 = 4 : 3
    В начале года было 20 мальчиков и 10 девочек, поэтому соотношение было 20 : 10 = 2 : 1

    А теперь немного квадратных уравнений:

    Пример: Произведение двух последовательных четных целых чисел равно 168. Что это за целые числа?

    Последовательно означает одно за другим. И они даже , так что они могут быть 2 и 4, или 4 и 6, и т. д.

    Мы будем называть меньшее целое число n , поэтому большее целое число должно быть n+2

    И нам говорят, что произведение (то, что мы получим после умножения) равно 168, поэтому мы знаем:

    n(n + 2) = 168

    Нас просят ввести целые числа

    Решить:

    Начните с: n(n + 2) = 168

    Расширить: n 2 + 2n = 168

    Вычесть 168 с обеих сторон: n 2 + 2n − 168 = 0

    Это квадратное уравнение, и есть много способов его решить.Используя Решатель квадратных уравнений, мы получаем -14 и 12.

    Проверка −14: −14(−14 + 2) = (−14)×(−12) = 168 ДА

    Проверка 12: 12(12 + 2) = 12×14 = 168 ДА

    Итак, есть два решения: −14 и −12 — одно, 12 и 14 — другое.

     

    Примечание: мы могли бы также попробовать «угадать и проверить»:

    • Можно попробовать, скажем, n=10: 10(12) = 120 НЕТ (слишком мало)
    • Далее мы можем попробовать n=12: 12(14) = 168 ДА

    Но если мы не будем помнить, что умножение двух отрицательных чисел дает положительное, мы можем упустить из виду другое решение (−14)×(−12).

    А:

    Пример: Вы архитектор. Ваш клиент хочет, чтобы комната была в два раза длиннее, чем ее ширина. Они также хотят веранду шириной 3 метра вдоль длинной стороны.

    У вашего клиента есть 56 квадратных метров красивой мраморной плитки, чтобы покрыть всю площадь.

    Какой длины должна быть комната?

    Давайте сначала сделаем набросок, чтобы все получилось правильно!:

    Буквы:

    • длина номера: L
    • ширина комнаты: Ш
    • Общая площадь включая веранду: А

    Мы знаем:

    • ширина комнаты равна половине ее длины: Ш = ½Д
    • общая площадь равна (ширине комнаты + 3), умноженной на длину: A = (W+3) × L = 56

    Нас спрашивают о длине комнаты: L

    Решить:

    Начните с: (Ш + 3) × Д = 56

    Заменитель Ш = ½ л : (½ л + 3) × Д = 56

    Упрощение: ½ л 2 + 3 л = 56

    Умножить все члены на 2: L 2 + 6L = 112

    Вычесть 112 с обеих сторон : L 2 + 6L − 112 = 0

    Это квадратное уравнение , есть много способов его решить, на этот раз воспользуемся факторингом:

    Начните с: л 2 + 6 л — 112 = 0

    Два числа, при умножении которых получается ac=−112,
    и сложите, чтобы получить b = 6, 14 и -8: L 2 + 14L — 8L — 112 = 0

    Группа: L(L +14) − 8(L + 14) = 0

    Группа: (L — 8)(L + 14) = 0

    Итак, L = 8 или −14

    У квадратного уравнения есть два решения, но возможно только одно из них, так как длина комнаты не может быть отрицательной!

    Итак, длина комнаты 8 м

    Чек

    L = 8, поэтому W = ½L = 4

    Итак, площадь прямоугольника = (W+3) × L = 7 × 8 = 56

    Вот и мы…

    … Я надеюсь, что эти примеры помогут вам понять, как обращаться со словесными вопросами. Теперь как насчет практики?

    Стратегии решения задач – Математика для учителей начальных классов

    Вспомните первую задачу в этой главе, задачу ABC. Что вы сделали, чтобы решить эту проблему? Даже если вы не поняли это полностью самостоятельно, вы, вероятно, работали над решением и выяснили некоторые вещи, которые не работали .

    В отличие от упражнений, простого рецепта решения проблемы не существует. Вы можете становиться все лучше и лучше в решении проблем, как накапливая свои базовые знания, так и просто практикуясь. По мере того, как вы решаете больше проблем (и узнаете, как их решали другие люди), вы изучаете стратегии и приемы, которые могут оказаться полезными. Но ни одна стратегия не работает каждый раз.

    Джордж Полиа был великим чемпионом в области обучения навыкам эффективного решения проблем.Он родился в Венгрии в 1887 году, получил степень доктора философии. в Будапештском университете и был профессором Стэнфордского университета (среди других университетов). Он написал множество математических статей, а также три книги, самая известная из которых — «Как это решить». Полиа умерла в возрасте 98 лет в 1985 году.

    Джордж Полиа, около 1973 г.

     В 1945 году Полиа опубликовал короткую книгу How to Solve It , в которой изложил четырехэтапный метод решения математических задач:

    1. Во-первых, вы должны понять проблему.
    2. Разобравшись, составьте план.
    3. Выполнить план.
    4. Оглянитесь на свою работу. Как это может быть лучше?

    Это все хорошо, но как вы на самом деле делаете эти шаги?!?! Шаги 1 и 2 особенно загадочны! Как вы «составляете план»? Вот где вам нужны некоторые инструменты в вашем наборе инструментов и некоторый опыт, на который можно опереться.

    Многое было написано с 1945 года, чтобы объяснить эти шаги более подробно, но правда в том, что они больше искусство, чем наука.Именно здесь математика становится творческим занятием (и где она становится такой увлекательной). Мы сформулируем несколько полезных стратегий решения проблем, но такой список никогда не будет полным. Это действительно только начало, чтобы помочь вам на вашем пути. Лучший способ стать квалифицированным специалистом по решению проблем — это хорошо изучить базовый материал, а затем решить множество задач!

    Мы уже видели одну стратегию решения проблем, которую мы называем «Принятие желаемого за действительное». Не бойтесь менять задачу! Задайте себе вопросы «что, если»:

    • Что, если бы картинка была другой?
    • Что, если бы числа были проще?
    • Что, если я просто выдумал несколько цифр?

    Вы должны обязательно вернуться к исходной проблеме в конце, но принятие желаемого за действительное может быть мощной стратегией для начала.

    Это подводит нас к самой важной стратегии решения проблем:

    Стратегия решения проблем 2 (Попробуйте что-нибудь!). Если вы действительно пытаетесь решить проблему, то все дело в том, что вы не знаете, что делать с самого начала. Вам нужно просто попробовать что-нибудь! Приложите карандаш к бумаге (или стилус к экрану, мел к доске или что-то еще!) и попробуйте что-нибудь. Часто это важный шаг в понимании проблемы; просто повозитесь с ним немного, чтобы понять ситуацию и выяснить, что происходит.

    И что не менее важно: если то, что вы попробовали сначала, не работает, попробуйте что-нибудь другое! Поиграйте с проблемой, пока не почувствуете, что происходит.

    Задача 2 (Расплата)

    На прошлой неделе Алекс занял деньги у нескольких своих друзей. Ему наконец-то заплатили на работе, поэтому он принес в школу наличные, чтобы расплатиться с долгами. Сначала он увидел Брианну и отдал ей 1/4 денег, которые принес в школу. Затем Алекс увидел Криса и отдал ему 1/3 того, что у него осталось после оплаты Брианне.Наконец, Алекс увидел Дэвида и отдал ему половину того, что у него осталось. Кто получил больше всего денег от Алекса?

     

    Подумай/Соедини/Поделись

    После того, как вы какое-то время поработаете над проблемой самостоятельно, обсудите свои идеи с партнером (даже если вы еще не решили ее). Что вы пробовали? Что вы узнали о проблеме?

    Эта проблема решается двумя конкретными стратегиями. Вы пробовали что-то из этого, когда работали над проблемой? Если нет, прочитайте о стратегии, а затем попробуйте ее, прежде чем смотреть решение.

    Стратегия решения проблем 3 (Нарисуй картинку). Некоторые задачи явно относятся к геометрической ситуации, и очевидно, что вы хотите нарисовать картинку и отметить всю предоставленную информацию, прежде чем пытаться ее решить. Но даже для задачи, которая не является геометрической, вроде этой, визуальное мышление может помочь! Можете ли вы изобразить что-то в ситуации картинкой?

    Нарисуйте квадрат, чтобы обозначить все деньги Алекса. Затем заштрихуйте 1/4 квадрата — вот что он отдал Брианне.Как картинка может помочь вам решить задачу?

    После того, как вы сами поработаете над проблемой, используя эту стратегию (или если вы совсем застряли), вы можете посмотреть чужое решение.

    Стратегия решения проблем 4 (Компенсация номеров). Проблема частично усложняется тем, что речь идет о деньгах, но цифры не указаны. Это означает, что цифры не должны быть важны. Так что просто придумай их!

    Вы можете работать вперед: предположим, у Алекса была определенная сумма денег, когда он появился в школе, скажем, 100 долларов.Затем подсчитайте, сколько он дает каждому человеку. Или вы можете работать в обратном порядке: предположим, что в конце у него осталась определенная сумма, например 10 долларов. Поскольку он отдал Крису половину того, что у него осталось, это означает, что у него было 20 долларов, прежде чем он столкнулся с Крисом. Теперь поработайте в обратном порядке и подсчитайте, сколько получил каждый человек.

    Смотрите решение только после того, как сами попробуете эту стратегию.

    Если вы используете стратегию «Придумать числа», очень важно помнить, о чем задавалась первоначальная задача! Вы не хотите отвечать что-то вроде «Все получили по 10 долларов.«Это неверно в исходной задаче; это артефакт чисел, которые вы составили. Так что после того, как вы все проработаете, обязательно перечитайте задачу и ответьте на вопрос!

    Задача 3 (Квадраты на шахматной доске)

    Сколько клеток любого возможного размера на шахматной доске 8 × 8 ? (Ответ не 64… Это намного больше!)

    Помните, что первый шаг Полии — понять проблему. Если вы не уверены, что спрашивают, или почему ответ не просто 64, обязательно спросите кого-нибудь!

    Думай / Пара / Поделись

    После того, как вы какое-то время поработаете над проблемой самостоятельно, обсудите свои идеи с партнером (даже если вы еще не решили ее).Что вы пробовали? Что вы узнали о проблеме, даже если не решили ее полностью?

    Понятно, что вы хотите нарисовать картинку для этой задачи, но даже по картинке может быть трудно понять, нашли ли вы правильный ответ. Цифры становятся большими, и может быть трудно уследить за вашей работой. Ваша цель в конце — быть абсолютно уверенным, что вы нашли правильный ответ. Вы никогда не должны спрашивать учителя: «Это правильно?» Вместо этого вы должны заявить: «Вот мой ответ, и вот почему я знаю, что он правильный!»

    Стратегия решения проблем 5 (Попробуйте более простую задачу). Полиа предложил такую ​​стратегию: «Если вы не можете решить проблему, то есть более простая проблема, которую вы можете решить: найти ее». Он также сказал: «Если вы не можете решить предложенную проблему, попробуйте решить сначала какую-нибудь родственную проблему. Могли бы вы представить себе более доступную родственную проблему?» В этом случае шахматная доска 8 × 8 довольно велика. Можете ли вы решить проблему для меньших плат? Типа 1×1? 2 × 2? 3 × 3?

    Конечно, конечной целью является решение исходной проблемы. Но работа с меньшими досками может дать вам некоторое представление и помочь вам разработать свой план (это шаг Полии (2)).

    Стратегия решения проблем 6 (Систематическая работа). Если вы работаете над более простыми задачами, полезно отслеживать, что вы выяснили и что меняется по мере усложнения задачи.

    Например, в этой задаче вы можете отслеживать, сколько клеток 1 × 1 на каждой доске, сколько клеток 2 × 2 на каждой доске, сколько клеток 3 × 3 на каждой доске и так далее. . Вы можете отслеживать информацию в таблице:

    размер платы   количество квадратов 1 × 1   количество квадратов 2 × 2   количество из 3 × 3 квадратов   количество квадратов 4 × 4
    1 на 1 1 ​​ 0 0 0
    2 на 2 4 1 ​​ 0 0
    3 на 3  9 4 1 ​​ 0

    Стратегия решения проблем 7 (Используйте манипуляции, чтобы помочь вам в расследовании). Иногда даже рисунка может быть недостаточно, чтобы разобраться в проблеме. Наличие реальных материалов, которые вы перемещаете, иногда может очень помочь!

    Например, в этой задаче бывает сложно уследить, какие клетки вы уже посчитали. Вы можете вырезать квадраты 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 и так далее. На самом деле вы можете систематически перемещать меньшие квадраты по шахматной доске, убедившись, что вы считаете все один раз и ничего не считаете дважды.

    Стратегия решения проблем 8 (Поиск и объяснение закономерностей). Иногда числа в задаче настолько велики, что вы никак не сможете сосчитать все вручную. Например, если бы задача в этом разделе была о шахматной доске 100 × 100, вы бы не захотели считать все клетки вручную! Гораздо интереснее было бы найти шаблон на меньших досках, а затем расширить этот шаблон, чтобы решить задачу для шахматной доски 100 × 100 только с помощью вычислений.

    Думай / Пара / Поделись

    Если вы еще этого не сделали, расширьте приведенную выше таблицу до шахматной доски 8 × 8, заполнив все строки и столбцы. С помощью таблицы найдите общее количество клеток на шахматной доске 8 × 8. Тогда:

    • Опишите все шаблоны, которые вы видите в таблице.
    • Можете ли вы объяснить и обосновать какие-либо закономерности, которые вы видите? Как вы можете быть уверены, что они будут продолжаться?
    • Какие вычисления вы бы сделали, чтобы найти общее количество клеток на шахматной доске 100 × 100?

    (Мы скоро вернемся к этому вопросу.Так что, если вы не уверены прямо сейчас, как объяснить и обосновать найденные закономерности, это нормально.)

     

    Проблема 4 (Сломанные часы)

    Эти часы разбиты на три части. Если вы сложите числа в каждой части, суммы будут последовательными числами. ( Последовательные числа — это целые числа, идущие одно за другим, например 1, 2, 3, 4 или 13, 14, 15.)

    Можете ли вы разбить другие часы на другое количество частей, чтобы суммы были последовательными числами? Предположим, что каждая фигура имеет по крайней мере два номера и ни один из них не поврежден (т.грамм. 12 не делится на две цифры 1 и 2.)

    Помните, что ваш первый шаг — понять проблему. Разберитесь, что здесь происходит. Какова сумма чисел на каждой части? Они последовательные?

    Думай / Пара / Поделись

    После того, как вы какое-то время поработаете над проблемой самостоятельно, обсудите свои идеи с партнером (даже если вы еще не решили ее). Что вы пробовали? Какого прогресса вы добились?

    Стратегия решения проблем 9 (Найти математику, удалить контекст). Иногда в задаче содержится много деталей, которые не важны или, по крайней мере, не важны для начала. Цель состоит в том, чтобы найти основную математическую задачу, затем вернуться к исходному вопросу и посмотреть, сможете ли вы решить ее с помощью математики.

    В этом случае беспокоиться о часах и о том, как именно разбиваются кусочки, не так важно, как о поиске последовательных чисел, сумма которых дает правильную сумму. Спросите себя:

    • Какова сумма всех чисел на циферблате часов?
    • Могу ли я найти два последовательных числа, дающих правильную сумму? Или четыре последовательных числа? Или какая-то другая сумма?
    • Как узнать, что я закончил? Когда мне перестать искать?

    Конечно, решение вопроса о последовательных числах — это не то же самое, что решение исходной задачи.Вы должны вернуться и посмотреть, могут ли часы разбиться на части, чтобы каждая часть давала вам одно из этих последовательных чисел. Может быть, вы и сможете решить математическую задачу, но это не приведет к решению задачи с часами.

    Стратегия решения проблем 10 (Проверьте свои предположения). При решении задач легко ограничить свое мышление, добавив дополнительные предположения, которых нет в задаче. Обязательно спросите себя: не слишком ли я ограничиваю свое мышление?

    В задаче с часами, поскольку в первом решении часы сломаны радиально (все три части сходятся в центре, так что это похоже на разрезание пирога), многие люди предполагают, что именно так часы должны сломаться.Но задача не требует, чтобы часы ломались радиально. Он может разбиться на такие куски:

    Вы предполагали, что часы сломаются каким-то особым образом? Попробуйте решить проблему сейчас, если вы еще этого не сделали.

     

     

     

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.