Примеры на сложение и вычитание в пределах 20
Распечатать примеры на сложение и вычитание в пределах 20.
Содержание
- 1 Примеры на сложение и вычитание в пределах 20
- 1.1 Примеры на сложение и вычитание в пределах 20
- 1.2 Примеры на вычитание пределах 20
- 1.3 Вставь пропущенное число
- 1.4 Примеры на сложение в пределах 20
Примеры на сложение и вычитание в пределах 20
В карточке желательно указывать количество ошибок и время, потраченное на решение. Это нужно, чтобы отслеживать в динамике успехи ребенка.
Примеры на сложение и вычитание в пределах 20
Примеры на вычитание пределах 20
Вставь пропущенное число
Примеры на сложение в пределах 20
После решения примеров, обязательно отмечайте количество ошибок и время за которое решены примеры, желательно отслеживать в динамике. Если ребенку сложно решить всю карточку за раз, предложите решать примеры по столбикам. Важно заниматься ежедневно.
Смотрите также:
Как научить ребенка решать примеры до 20 в уме
Как научить ребенка решать задачи по математике 1-3 класс
Как научить ребенка складывать и вычитать в уме
Таблица умножения для детей
1000 примеров на сложение и вычитание в пределах 10
Онлайн примеры на сложение и вычитание в пределах позволяют довести устный счёт до автоматизма. Примеры до 20 — это сложение однозначных чисел, сумма которых переходит через десяток, а также сложение двузначных чисел из первого десятка и однозначного числа.
Переход через десяток — важная веха в освоении устного счёта: освоившись с переходом через первый десяток, можно приступать к примерам с двузначными числами.
Примеры на вычитание построены также с вычитание числа из первого десятка.
Примеры можно разделить по степени сложности: лёгкие – это примеры без перехода через десяток, сложные – с обязательным переходом, обычные – слагаемые выбираются случайным образом.
| Настройка генератора примеров |
|---|
|
Образец примеров
7 — 1
18 — 13
11 — 8
5 + 8
13 — 10
5 — 1
1 + 11
12 — 10
6 + 13
9 — 5
9 + 9
8 — 4
4 + 14
19 + 1
7 + 7
6 + 8
1 + 13
13 + 6
5 + 13
4 + 12
6 + 6
10 — 1
9 + 7
4 + 12
17 — 2
10 + 5
6 + 4
5 + 8
14 — 9
2 + 17
12 + 2
18 + 1
14 — 9
3 + 7
2 + 13
3 — 1
4 + 9
7 + 10
2 + 15
14 + 3
17 — 16
18 — 11
10 + 8
4 + 16
10 — 4
11 — 8
15 — 11
12 + 1
7 + 4
12 + 8
12 + 3
4 + 6
11 + 8
17 — 9
10 + 8
7 + 13
7 + 11
13 — 11
3 + 16
19 — 16
10 — 2
14 — 3
1 + 16
19 — 14
18 + 1
15 — 2
11 + 5
11 + 5
2 + 14
2 + 11
6 — 1
6 + 4
14 + 4
14 — 10
4 + 11
13 — 2
12 — 8
18 — 3
15 + 5
4 + 13
6 + 8
13 + 3
5 + 10
18 — 17
3 + 7
6 + 7
4 + 10
12 — 4
1 + 16
10 — 5
3 + 9
14 + 4
2 + 16
17 — 13
12 — 4
17 — 1
7 + 13
19 — 12
13 + 7
13 — 2
14 + 3
6 + 14
15 — 4
3 + 16
19 — 10
13 + 3
15 — 3
1 + 14
19 — 13
8 — 6
12 — 8
10 + 2
8 + 12
20 — 3
14 — 4
8 — 3
13 + 5
17 — 11
13 — 2
7 + 13
18 + 1
18 — 14
16 — 2
15 + 3
4 + 8
17 — 14
10 — 7
20 — 4
16 — 3
14 — 6
16 — 1
5 + 12
10 + 2
13 — 3
3 + 9
1 + 13
13 + 2
4 + 7
6 — 1
4 — 2
3 + 17
15 + 1
2 + 17
18 + 1
10 — 4
19 — 6
6 + 13
3 + 10
9 + 6
12 + 4
9 — 5
7 + 8
17 + 1
17 — 14
12 + 4
18 — 10
15 — 6
16 — 13
13 + 1
12 + 5
8 — 7
16 — 5
12 + 6
20 — 18
9 — 7
6 — 5
10 + 1
7 — 3
6 + 9
6 + 7
12 + 5
10 + 10
10 + 5
12 + 5
11 — 4
3 + 15
14 — 5
17 — 6
19 — 2
5 + 10
9 — 4
18 — 10
8 + 6
12 + 1
16 — 13
15 — 10
17 — 5
14 + 3
12 + 5
19 — 16
7 + 6
14 — 4
4 + 11
13 — 11
17 — 5
5 — 4
14 — 5
5 + 14
13 + 1
2 + 13
10 — 9
7 — 6
15 — 13
9 + 7
12 + 7
4 + 16
11 + 5
5 — 2
3 + 17
14 — 10
8 — 1
13 + 4
1 + 13
3 + 15
16 — 6
4 + 14
16 + 2
4 + 10
10 + 9
6 + 6
17 — 6
1 + 15
8 + 12
13 + 4
5 — 3
12 — 5
17 — 9
5 + 12
7 + 6
11 — 1
7 — 6
4 + 12
11 — 3
18 — 12
3 + 8
20 — 6
10 — 8
19 — 17
1 + 11
2 + 11
15 — 1
17 — 4
10 + 6
8 — 2
19 — 7
6 — 1
9 + 5
15 + 5
15 — 8
10 — 1
17 — 13
19 — 1
6 — 2
16 — 1
11 + 9
2 + 13
13 + 4
4 — 2
18 — 9
14 — 3
6 + 4
20 — 3
1 + 13
19 — 7
16 — 13
7 — 5
5 — 2
15 — 5
14 — 1
13 + 2
4 + 10
5 + 5
2 + 9
4 + 14
18 — 9
15 + 1
11 — 3
15 — 5
4 — 1
2 + 18
4 + 10
4 + 6
20 — 3
9 + 2
17 — 11
1 + 14
6 — 4
3 + 10
11 — 2
12 — 5
17 — 13
5 + 13
6 + 14
16 — 10
12 — 11
5 — 2
17 + 1
4 + 12
17 — 3
12 — 8
1 + 10
5 + 9
17 — 7
10 — 2
12 — 7
6 + 7
6 + 12
19 — 11
9 + 8
1 + 19
7 + 10
5 + 14
15 — 10
16 — 1
16 + 3
17 — 10
10 — 3
3 — 2
17 — 5
10 + 4
7 + 7
16 + 1
20 — 14
8 — 2
6 — 3
12 — 2
8 + 11
8 + 10
4 + 7
18 — 15
3 + 7
8 + 10
10 + 3
1 + 12
10 + 1
1 + 15
4 + 15
9 + 5
1 + 18
7 + 5
2 + 16
11 — 6
17 — 2
18 — 15
13 + 5
17 — 5
3 + 17
16 + 4
1 + 12
6 + 12
18 — 7
9 + 3
2 + 18
15 — 9
9 — 6
10 + 3
4 + 11
5 + 11
9 — 4
4 + 14
8 + 6
4 + 12
9 + 3
9 + 4
8 + 12
10 — 6
4 + 14
13 — 5
16 + 4
18 — 8
6 + 10
6 + 8
10 + 1
4 + 16
16 — 13
15 — 7
20 — 11
1 + 14
14 — 13
9 — 5
3 + 10
18 — 12
17 — 2
5 + 15
3 + 8
16 — 11
15 + 5
13 — 7
2 + 13
2 + 12
17 — 10
4 + 8
2 + 16
5 + 9
9 — 3
6 + 13
16 — 9
18 + 1
6 + 6
11 — 9
14 — 7
12 + 4
10 + 9
5 + 10
6 + 5
19 — 8
8 — 2
14 — 12
9 — 6
12 + 6
9 + 9
20 — 12
13 + 1
9 — 4
10 — 2
16 — 15
15 — 2
10 + 4
9 — 7
11 — 8
4 + 10
15 + 3
18 — 10
7 + 11
8 + 9
8 + 11
14 — 2
17 — 9
8 + 3
14 + 2
4 + 8
9 + 10
14 — 9
5 + 10
6 + 7
8 + 6
16 + 3
4 + 15
9 — 2
3 + 13
13 + 7
20 — 1
19 — 8
9 + 5
8 — 7
17 — 2
14 — 13
9 — 5
20 — 16
19 — 1
14 + 4
15 — 6
18 + 1
6 + 14
20 — 19
18 — 13
19 + 1
9 + 7
10 + 6
20 — 2
13 + 7
20 — 16
14 + 1
11 — 3
7 — 4
8 — 6
12 — 8
6 + 4
18 — 17
7 — 6
1 + 12
18 — 17
11 — 6
15 — 7
12 + 3
20 — 17
8 — 1
14 — 4
20 — 19
9 + 6
11 + 5
6 + 6
5 + 13
12 — 2
17 — 13
13 + 5
9 — 6
7 + 13
6 + 14
12 — 6
3 + 16
11 + 3
16 — 4
3 + 16
10 + 7
Как научить ребенка считать примеры в пределах 20
Итак, первые шаги в математической науке уже пройдены, и теперь родителям предстоит объяснить ребенку, как же складывать или вычитать числа в пределах 20-ти. Безусловно, самое главное в математике – понять все премудрости этой науки. Не подсмотреть у соседа по парте, не посчитать на палочках или пальцах (рук и ног), а именно понять, почему нужно поступать так, а не иначе.
Эта сложная наука – математика
Некоторым деткам научиться математическому счету бывает намного труднее, чем, например, научиться читать. Поэтому, чтобы у ребенка появилась так называемая «симпатия» к предмету, родителям придется постараться привить любовь ребенка к математике.
Некоторые родители не желают обременять себя подобными делами и перекладывают обучение вычислениям на плечи педагогов начальной школы. Безусловно, именно учителя и выполняют обучение счету детей, но родители не должны самоустраняться, а обязаны помогать ребенку, помогать находить ошибки, анализировать их.
Даже если вы решили воспользоваться услугами репетитора, заниматься с ребенком дома все равно придется, ведь учитель задает домашние задания, которые следует добросовестно выполнять. В противном случае знания, не подкрепленные практикой, очень быстро забудутся.
Как научить считать в пределах 20-ти
Педагоги с опытом рекомендуют использовать для объяснения азов вычитания и сложения в пределах второго десятка по уже разработанным алгоритмам. Это поможет детям понять и осмыслить, что представляет собой один и два десятка, как складывать числа или вычитать их, если они переваливает через десяток. Занимаясь с ребенком, каждый раз следует проверять, насколько хорошо он понял пройденный материал, закрепить его, и не перескакивать на следующие темы, если в предыдущей остались пробелы.
С чего начать?
Прежде всего ребенок должен знать, как называются числа второго десятка и в каком порядке они идут друг за другом. После этого понадобится двадцать одинаковых деталей чего-либо: кубиков, счетных палочек, карточек от игр и прочее.
Разложите с ребенком кубики (карточки, палочки и прочее) в два ряда по 10 штук в каждом ряду. Первый ряд – это первый десяток, можете даже пронумеровать все кубики первого десятка. Второй ряд – это числа второго десятка. Выложите их один под другим, т.е. кубики с порядковыми номера «один» и «одиннадцать» должны располагаться один над другим, «два» над «двенадцать», «пять» над «пятнадцать» и так далее.
Запоминать названия чисел второго десятка так будет намного проще: 11 – к слову «один» прибавляет окончание «-дцать», лежит на нем «один», так и получает «один-на-дцать». Таким же образом получаем и другие числа «две-на-дцать», «три-на-дцать» и так далее. Повторяйте с ребенком такое упражнение до тех пор, пока он не запомнит числа.
Вычисления без перехода через десяток
Перед тем, как начать обучение счету в пределах двух десятков, ребенок должен четко понимать, где у числа десятки, а где – единицы. Если вы будете объяснять ребенку правила вычисления «на пальцах», то скорее всего, он ничего не поймет. Для обучения вам потребуются наглядные пособия, например, кубики.
Чтобы объяснить ребенку, как делать вычисления без перехода через десяток, попросите его выложить в линию 10 кубиков. Это десяток. Теперь попросите его прибавить к ним еще 3 кубика, поставив их сверху на первые десяток (одиннадцатый кубик на первых, двенадцатый на второй, тринадцатый на третий). Проговаривайте свои действия – «десять плюс три равно тринадцать». Подобный образом составьте и другие числа, без перехода через десяток.
Примерами на сложение и вычитание без перехода через десяток считаются такие, в которых все математические действия совершаются с целым или целыми десятками и еще несколькими единицами.
Например:
10+5=15 16-6=10
10+8=18 17-10=7
После того, как ребенок поймет, как совершается сложение, можно переходить к примерам на вычитание. Если маленький школьник поймет принцип сложения и вычитания чисел до 20-ти, значит у него не будет проблем и с математическими действиями чисел второго, третьего десятка и так далее в пределах сотни.
Вычисления с переходом через десяток
Математические примеры на сложение и вычитание с переходом через десяток несколько сложнее, и поэтому ребенок долен быть готов к этому этапу обучения. Для этого ему необходимо выучить состав чисел первого десятка.
Например, состав числа 2 – то 1 и 1, а состав числа 3 – это две пары чисел: 2 и 1 или 1 и 2, а состав числа 5 – это следующие пары: 1 и 4, 2 и 3, 3 и 2, 4 и 1. И так для каждого числа первого десятка.
Для чего это необходимо? Выполняя арифметические действия ребенку придется сначала письменно, а затем и устно раскладывать прибавляемое или вычитаемое число так, чтобы оно дало десяток при сложении или вычитании с первым.
Вторым важным условием для перехода к этому этапу является быстрый устный счет в пределах первого десятка. Без этого, ребенку будет сложно удержать в голове видимые числа и те, на которые он раскладывает одно из видимых.
Рассмотрим на примере алгоритм решения примеров на сложение с переходом через десяток.
Нужно прибавить к 8 число 6.
8+6=
Запишем этот пример так:
8+(2+4) =
Т.е. мы раскладываем второе слагаемое 6 на два числа, чтобы в сумме с первым слагаемым 8 получить десятку. После того, как мы складываем 8 и 2 и получаем десятку, нам видно, что при добавлении к нему числа 4 мы получим число 14
Значит 8+(2+4) = 14 или 8+6 = 14
Для закрепления рассмотрим еще несколько примеров на сложение.
6+9 =
Этот пример можно записать следующим образом:
6+(4+5) = 15
И еще один
7+8 =
Записываем его в таком виде:
7+(3+5) = 15
Рассмотрим на примере алгоритм решения примеров на вычитание с переходом через десяток.
Чтобы вычесть из одного числа другое с переходом через десятку, нужно разложить вычитаемое таким образом, чтобы у нас получилась десятка при первом отнимании.
15-7 =
В данном случае число 7 состоит из 5 и 2. Запишем этот пример так, чтобы в первом действии у нас получилась десятка
(15-5)-2 = 8
Ребенку легче будет решать такие примеры, если он запомнит, что при вычитании нужно раскладывать вычитаемое так, чтобы сразу же отнять у первого числа единицы.
Например:
14-6=
Раскладываем вычитаемое (6 состоит из 4 и 2)
(14-4)-2 = 8
16-9=
Раскладываем вычитаемое (9 состоит из 6 и 3)
(16-6)-3=7
Т.е. при вычитании какое бы число не нужно было разложить, сначала вычитаем единицы из первого числа, чтоб осталась десятка, а затем уже вычитаем оставшееся число.
Рекомендации родителям
Не стоит рассчитывать, что эти простые истины математики дадутся ребенку с легкостью. Даже если соседская девочка или сын сотрудницы освоил сложение и вычитание за один день, это не повод впадать в отчаяние. Во-первых, все дети разные и у всех индивидуальные особенности усвоения информации, а во-вторых, если кто-то что-то освоил быстрее, еще не значит, что учиться ему будет легче.
Кроме того, при обучении малыша родителям нужно следить за реакцией ребенка на это обучение. Если вы видите, что ему не интересно, попробуйте сменить тактику. Считайте конфеты, яблоки, книжки, можно вырезать одинаковые фигурки для обучения, а затем сделать из них праздничную гирлянду.
Если в определенный период времени ребенок отказывается учиться, у него плохое настроение или самочувствие, не настаивайте. Перенесите время урока на более благоприятный период. Зато у малыша не пропадет желание к учебе, как к чему-то неприятному и неизбежному. Ну и самое главное, проявляйте терпение к его стараниям и почаще хвалите. Для него это очень важно.
Примеры на сложение в пределах 20
Для того, чтобы научиться решать примеры, надо их решать.
Все просто, не правда ли?
Для того, чтобы научиться решать примеры, надо их решать.
Все просто, не правда ли?
Только вот где взять много-много примеров, чтобы ребенок смог выработать уверенный навык решения математических примеров в пределах первых двух десятков?
Школьные рабочие тетради покупать дошкольникам не рекомендуется.
А вот скачать здесь листики с примерами можно.
Кстати, их нужно сразу распечатать в нескольких экземплярах.
И если в первый раз малыш допустит при решении ошибки, через некоторое время можно будет повторить работу.
А потом и на скорость порешать. Пусть ребенок сам отмечает время, которе ему потребовалось для решения всех примеров.
Примеры на сложение в пределах 20
Примеры на сложение в пределах 20
Примеры на сложение в пределах 20
Примеры на сложение в пределах 20
Уважаемые читатели!
Все материалы с сайта можно скачивать абсолютно бесплатно. Все файлы проверены антивирусом и не содержат скрытых скриптов.
Картинки в архивах не помечены водяными знаками.
Если материал нарушает чьи-то авторские права, просьба написать нам по адресу [email protected], указав авторство материала. Мы обязуемся (по вашему желанию) либо убрать материал, либо указать прямую ссылку на автора.
Сайт пополняется материалами на основе бесплатной работы авторов. Eсли вы хотите отблагодарить их за работу и поддержать наш проект, вы можете перевести любую, не обременительную для вас сумму, на счет сайта.
Заранее Вам спасибо!!!
Самые первые примеры, с которыми знакомится ребенок еще до школы — это сложение и вычитание. Не так уж сложно посчитать животных на картинке и, зачеркнув лишних, посчитать оставшихся. Или перекладывать счетные палочки, а потом считать их. Но для ребенка несколько труднее оперировать с голыми цифрами. Именно поэтому нужна практика и еще раз практика. Не бросайте заниматься с ребенком и летом, поскольку за лето школьная программа из маленькой головки просто выветривается и долго приходится наверстывать потерянные знания.
Если ваш ребенок первоклашка или только идет в первый класс — начните с повторения состава числа по домикам. А теперь можно браться и за примеры. Фактически сложение и вычитание в пределах десяти — это и есть первое практическое применение ребенком знания состава числа.
Кликайте по картинкам и открывайте тренажер в максимальном увеличении, далее можно скачать изображение себе на компьютер и распечатать в хорошем качестве.
Есть возможность разрезать А4 пополам и получить 2 листа с заданиями , если хотите уменьшить нагрузку на ребенка, или давать решать по столбику в день, если решили позаниматься летом.
Решаем столбик, отмечаем успехи: тучка — не очень хорошо решили, смайлик — хорошо, солнышко — замечательно!
Сложение и вычитание в пределах 10
А теперь вразброс!
И с пропусками (окошками):
Примеры на сложение и вычитание в пределах 20
К моменту, когда ребенок приступит к изучению этой темы математики, он должен очень хорошо, на зубок знать состав чисел первого десятка. Если ребенок состав чисел не освоил, ему сложно придется в дальнейших вычислениях. Поэтому постоянно возвращайтесь к теме состава чисел в пределах 10, пока первоклассник не освоит его до автоматизма. Также первоклассник должен знать, что значит десятичный (разрядный) состав чисел. На уроках математики учитель рассказывает, что 10 — это, по-другому, 1 десяток, поэтому число 12 состоит из 1 десятка и 2 единиц. При сложении единицы складываются с единицами. Именно на знании десятичного состава чисел основываются приемы сложения и вычитания в пределах 20 без перехода через десяток.
Примеры для печати без перехода через десяток вперемешку:
Сложение и вычитание в пределах 20 с переходом через десяток основаны на приемах добавления до 10 или убавления до 10 соответственно, то есть на теме «состав числа 10», поэтому ответственно подойдите к изучению с ребенком этой темы.
Примеры с переходом через десяток (половина листа сложение, половина вычитание, лист также можно распечатать в формате А4 и разрезать пополам на 2 задания):
Мы надеемся, наши весёлые картинки с примерами воодушевят ребятишек на их решение с удовольствием 🙂
А еще у нас есть отличный онлайн тренажер по математике! Родителям не нужно ничего распечатывать и проверять, все это за вас совершенно бесплатно сделаем мы! Выбирайте режим и вперед >>
Сложение и вычитание чисел в пределах 20 ( 1 кл. ).
Карточка 1 .
10 + 1 = 14 – 3 = 10 + 3 – 2 =
10 + 9 = 15 + 4 = 19 – 5 – 3 =
18 – 8 = 17 – 6 = 14 + 4 + 2=
17 – 10 = 12 + 4 = 18 – 6 + 5 =
__________________________________________________________________
Карточка 2.
Сложение и вычитание чисел в пределах 20.
10 + 2 = 15 – 4 = 11 + 4 – 3 =
10 + 8 = 16 + 3 = 20 – 4 – 5 =
19 – 9 = 18 – 7 = 13 + 3 + 3 =
16 – 10 = 13 + 5 = 19 – 7 + 6 =
________________________________________________________________
Карточка 3.
Сложение и вычитание чисел в пределах 20.
10 + 3 = 16 – 5 = 12 + 5 – 6 =
10 + 7 = 17 + 2 = 18 – 7 – 1 =
16 – 6 = 19 – 8 = 12 + 3 + 4 =
18 – 10 = 14 + 6 = 17 – 5 + 7 =
__________________________________________________________
Карточка 4.
Сложение и вычитание в пределах 20.
10 + 4 = 17 – 6 = 13 + 6 – 5 =
10 + 5 = 18 + 2 = 17 – 5 – 2 =
14 – 4 = 16 – 6 = 11 + 4 + 5 =
17 – 10 = 15 + 3 = 16 – 4 +7 =
| 1. |
Сложение
Сложность: лёгкое |
1 |
| 2. |
Разность чисел
Сложность: лёгкое |
1 |
| 3. |
Сумма и разность чисел
Сложность: лёгкое |
1 |
| 4. |
Запись выражения
Сложность: среднее |
3 |
| 5. |
Мячики
Сложность: среднее |
1 |
| 6. |
Заполнение таблицы
Сложность: среднее |
3 |
| 7. |
Рисунок
Сложность: среднее |
2 |
| 8. |
Пропущенное число
Сложность: среднее |
2 |
| 9. |
Разность
Сложность: среднее |
3 |
| 10. |
Сумма чисел
Сложность: сложное |
3 |
| 11. |
Круглые числа
Сложность: сложное |
3 |
| 12. |
Примеры
Сложность: сложное |
4 |
| 13. |
Знаки действий
Сложность: сложное |
4 |
Последнее обновление: 30 января 2020 г., Teachoo
Подпишитесь на наш канал Youtube — https://you.tube/teachoo
Стенограмма
Пример 20 Сколько слов, имеющих или не имеющих значения, каждый из 3 гласных и 2 согласных может быть образован из букв слова «ИНВОЛЮЦИЯ»? Таким образом, Количество способов выбора 3 гласных и 2 согласных = 4C3 × 4C2 = 4! / 3! 1! × 4! / 2! 2! = (4 × 3!) / (3! × 1!) × (4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 2 × 1) = 4 × 6 = 24 Мы выбрали буквы, Теперь мы должны организовать Количество аранжировок из 5 букв Количество аранжировок из 5 букв = 5P5 = 5! / (5 — 5)! = 5! / 0! = 5! / 1 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Таким образом, Общее количество слов = Количество способов выбора × Количество аранжировок = 24 × 120 = 2880
Показать больше ,Пример 20 — Показать | a + b |
Последнее обновление: 31 января 2020 г., Teachoo
Подпишитесь на наш канал Youtube — https://you.tube/teachoo
Стенограмма
Пример 20 Для любых двух векторов 𝑎 ⃗ и 𝑏 ⃗ мы всегда имеем | 𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗ | ≤ | 𝑎 ⃗ | + | 𝑏 ⃗ | (неравенство треугольника).Доказать: | 𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗ | ≤ | 𝑎 ⃗ | + | 𝑏 ⃗ | Сначала докажем тривиально, | 𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗ | = | «0 +» 𝑏 ⃗ | = | 𝑏 ⃗ | «|» | ⃗ «| + |» | ⃗ «|» = 0 + | 𝑏 ⃗ | = | 𝑏 ⃗ | | 𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗ | = | 𝑎 ⃗ + 0 | = | 𝑎 ⃗ | «|» | ⃗ «| + |» | ⃗ «|» = | 𝑎 ⃗ | + 0 = | 𝑎 ⃗ | Следовательно, неравенство | 𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗ | ≤ | 𝑎 ⃗ | + | 𝑏 ⃗ | выполняется тривиально. Теперь предположим, что 𝑎 ⃗ ≠ 0 ⃗ & 𝑏 ⃗ ≠ 0 ⃗ | 𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗ | 2 = (𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗).(𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗) = 𝑎 ⃗. ⃗ ⃗ + 𝑎 ⃗. ⃗ ⃗ + 𝒃 ⃗. ⃗ ⃗ + 𝑏 ⃗. 𝑏 ⃗ = 𝑎 ⃗. ⃗ ⃗ + 𝑎 ⃗. ⃗ ⃗ + 𝒂 ⃗. ⃗ ⃗ + 𝑏 ⃗. 𝑏 ⃗ = 𝒂 ⃗. ⃗ ⃗ + 2𝑎 ⃗. ⃗ ⃗ + 𝒃 ⃗. 𝒃 ⃗ = | 𝒂 ⃗ | 2 + 2𝑎 ⃗. ⃗ ⃗ + | 𝒃 ⃗ | 2 = | 𝑎 ⃗ | 2 + 2 | 𝒂 ⃗ || 𝒃 ⃗ | cos θ + | 𝑏 ⃗ | 2 ∴ | 𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗ | 2 = | 𝑎 ⃗ | 2 + 2 | 𝑎 ⃗ || 𝑏 ⃗ | cos θ + | 𝑏 ⃗ | 2 Мы знаем это cos θ ≤ 1 Умножение 2 | 𝑎 ⃗ || 𝑏 ⃗ | с обеих сторон 2 | 𝒂 ⃗ || 𝒃 ⃗ | cos θ ≤ 2 | 𝒂 ⃗ || 𝒃 ⃗ | Добавление | 𝑎 ⃗ | 2 + | 𝑏 ⃗ | 2 с обеих сторон, | 𝒂 ⃗ | 2 + | 𝒃 ⃗ | 2 + 2 | 𝒂 ⃗ || 𝒃 ⃗ | cos θ ≤ | 𝑎 ⃗ | 2 + | 𝑏 ⃗ | 2 + 2 | 𝑎 ⃗ | | 𝑏 ⃗ | | 𝒂 ⃗ + 𝒃 ⃗ | 2 ≤ (| 𝑎 ⃗ | + | 𝑏 ⃗ |) 2 Принимая квадратный корень с обеих сторон | 𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗ | ≤ (| 𝑎 ⃗ | + | 𝑏 ⃗ |) Отсюда доказано.
Показать больше ,Пример 20 — Найти общее решение: x dy / dx + 2y = x2
Последнее обновление: 29 мая 2018 г., Teachoo
Подпишитесь на наш канал Youtube — https://you.tube/teachoo
Стенограмма
Пример 20 Найти общее решение дифференциального уравнения +2 = 2 0 +2 = 2 + 2 = 2 Разделив обе стороны на х + 2 = х Дифференциальное уравнение имеет вид + = где P = 2 & Q = x IF = spdx ЕСЛИ = 2 IF = 2 log IF = log 2 Я.F = x2 Решение дифференциального уравнения y IF = IF + yx2 = 2 + yx2 = 3 + х2 у = 4 4+ у = + — требуемое общее решение
Показать больше ,Последнее обновление: 1 февраля 2020 г., Teachoo
Подпишитесь на наш канал Youtube — https: // you.трубка / чашка
Стенограмма
Пример 20 Найти векторное уравнение плоскости, проходящей через пересечение плоскостей 𝑟 ⃗. (𝑖 ̂ + 𝑗 ̂ + 𝑘 ̂) = 6 и 𝑟 ⃗. (2𝑖 ̂ + 3𝑗 ̂ + 4𝑘 ̂) = — 5, а точка (1, 1, 1). Векторное уравнение плоскости, проходящей через пересечение плоскостей 𝑟 ⃗. (𝑛1) ⃗ = d1 и 𝑟 ⃗. (𝑛2) ⃗ = d2, а также через точку (x1, y1, z1) (⃗. ((𝒏𝟏) ⃗ + 𝜆 (𝒏𝟐) ⃗) = d1 + 𝜆d2 Учитывая, самолет проходит через ⃗ ⃗.(𝒊 ̂ + 𝒋 ̂ + 𝒌 ̂) = 6 Сравнивая с 𝑟 ⃗. (𝑛1) ⃗ = d1, (𝒏𝟏) ⃗ = 𝒊 ̂ + 𝒋 ̂ + 𝒌 ̂ & d1 = 6 (⃗. (2𝒊 ̂ + 3𝒋 ̂ + 4𝒌 ̂) = −5 –𝑟 ⃗. (2𝑖 ̂ + 3𝑗 ̂ + 4𝑘 ̂) = 5 (⃗. (- 2𝑖 ̂ — 3𝑗 ̂ — 4𝑘 ̂) = 5 Сравнивая с 𝑟 ⃗. (𝑛2) ⃗ = d2 (𝒏𝟐) ⃗ = — 2𝒊 ̂ — 3𝒋 ̂ — 4𝒌 ̂ & d2 = 5 Уравнение плоскости ⃗ ⃗. [(𝑖 ̂ + 𝑗 ̂ + 𝑘 ̂) + «𝜆» (−2𝑖 ̂ − 3𝑗 ̂ − 4𝑘 ̂)] = 6 + 𝜆5 ⃗ ⃗. [(𝒊 ̂ «» + 𝒋 ̂ «» + 𝒌 ̂) — «𝜆» (𝟐𝒊 ̂ + 𝟑𝒋 ̂ + 𝟒𝒌 ̂)] = 6 + 5𝜆 Теперь, чтобы найти 𝜆, положите 𝒓 ⃗ = x𝒊 ̂ + y𝒋 ̂ + z𝒌 ̂ (x𝑖 ̂ + y𝑗 ̂ + z𝑘 ̂).[(𝑖 ̂ + 𝑗 ̂ + 𝑘 ̂) — «𝜆» (2𝑖 ̂ + 3𝑗 ̂ + 4𝑘 ̂)] = 5𝜆 + 6 (x𝑖 ̂ + y𝑗 ̂ + z𝑘 ̂). (𝑖 ̂ + 𝑗 ̂ + 𝑘 ̂) — 𝜆 (x𝑖 ̂ + y𝑗 ̂ + z𝑘 ̂). (2𝑖 ̂ + 3𝑗 ̂ + 4𝑘 ̂) = 5𝜆 + 6 (x × 1) + (y × 1) + (z × 1) — 𝜆 [(𝑥 × 2) + (𝑦 × 3) + (𝑧 × 4)] = 5𝜆 + 6 x + y + z — 𝜆 [2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧] = 5𝜆 + 6 x + y + z — 2𝜆𝑥 — 3𝜆y — 4𝜆z = 5𝜆 + 6 (1–2𝜆) x + (1–3𝜆) y + (1–4𝜆) z = 5𝜆 + 6 Поскольку плоскость проходит через (1, 1, 1), Положить (1, 1, 1) в (2) (1–2𝜆) x + (1–3𝜆) y + (1–4𝜆) z = 5𝜆 + 6 (1 −2𝜆) × 1 + (1–3𝜆) × 1 + (1–4𝜆) × 1 = 5𝜆 + 6 1 −2𝜆 + 1 — 3𝜆 + 1 — 4𝜆 = 5𝜆 + 6 3 — 9𝜆 = 5𝜆 + 6 −14𝜆 = 3 𝜆 𝜆 = (−𝟑) / 𝟏𝟒 Положить значение 𝜆 в (1), ⃗ ⃗.[(̂ ̂ «» + «» 𝑗 ̂ «» + «» 𝑘 ̂) — ((−3) / 14) (2𝑖 ̂ + 3𝑗 ̂ + «4» 𝑘 ̂)] = 6 + 5 × (−3 ) / 14 ⃗ ⃗. [(𝑖 ̂ + 𝑗 ̂ + «» 𝑘 ̂) +3/14 (2𝑖 ̂ + 3𝑗 ̂ + «4» 𝑘 ̂)] = 6 — 15/14 ⃗ ⃗. [𝑖 ̂ + 𝑗 ̂ «» + 𝑘 ̂ + 6/14 𝑖 ̂ + 9/14 ̂ ̂ + 12/14 ̂ ̂] = 69/14 ⃗ ⃗. [(1 + 6/14) ̂ ̂ + (1 + 9/14) 𝑗 ̂ + (1 + 12/14) 𝑘 ̂] = 69/14 ⃗ ⃗. [20/14 𝑖 ̂ + 23/14 𝑗 ̂ + 26/14 𝑘 ̂] = 69/14 ⃗ ⃗. [1/14 (20𝑖 + 23𝑗 + 26𝑘)] = 69/14 1/14 ⃗ ⃗. (20𝑖 + 23𝑗 + 26𝑘) = 69/14 ⃗ ⃗. (20𝑖 + 23𝑗 + 26𝑘) = 69 Следовательно, векторное уравнение искомой плоскости имеет вид ⃗ ⃗.(𝟐𝟎𝒊 ̂ + 𝟐𝟑𝒋 ̂ + 𝟐𝟔𝒌 ̂) = 𝟔𝟗
Показать больше ,