Что такое задача определение в математике в начальной школе: Советы учителя — Требования к оформлению письменных работ по математике в начальной школе, учитель начальных классов в Москве

Содержание

Советы учителя — Требования к оформлению письменных работ по математике в начальной школе, учитель начальных классов в Москве

Все записи в тетрадях следует оформлять аккуратным каллиграфическим почерком. 

В 1 классе в период обучения грамоте запись даты ведется учителем или учащимися по центру рабочей строки в виде числа и первых букв названия месяца (1 с.). По окончании периода обучения грамоте дата записывается полностью (1 марта.). Со 2 класса допускается запись даты выполнения работы на полях, с указанием числа и месяца (01.09.).

Запись названия работы производится на следующей рабочей строке по центру с пропуском 1 клетки от числа и оформляется как предложение (Классная работа. Домашняя работа. Самостоятельная работа. Работа над ошибками.).Во всех остальных случаях рекомендуется пропускать 2 клетки. При необходимости вариативность работы фиксируется на следующей строке по центру (Вариант I.). 

После выполнения работы (классной или домашней) следует отступать 4 клетки, начиная выполнять очередную работу на пятой клетке.

В ходе выполнения работы не допускается необоснованный пропуск строк или наличие пустых мест на строке. Использование правил переноса, принятых в математике, обязательно. 

При выполнении работы на странице требуется соблюдать внешние и внутренние поля. Между столбиками выражений, уравнений, неравенств и другими видами заданий отступаются три клетки вправо. Запись нового столбика начинается с четвертой клетки. 

При оформлении письменных заданий по математике рекомендуется указывать его номер (No 5) без уточнения вида (Задача, Неравенства, Выражения) Краткая запись условия задачи оформляется в соответствии с их видом (краткая запись, схема, чертеж, таблица, диаграмма, рисунок). Ключевые слова в краткой записи пишутся с большой буквы. 

В 1 классе допускается их сокращение по первым буквам: М. – 7 м. Б. – 3 м. 

Начиная с 2 класса по усмотрению учителя ключевые слова в краткой записи могут быть зафиксированы полностью: Маленькие – 7 м.

Большие – 3 м. 

При записи решения задачи по действиям с письменными пояснениями (с записью вопроса) или выражением после каждого действия ставится наименование в круглых скобках с использованием правил сокращения слов. Слово «Ответ» пишется под решением с заглавной буквы с отступлением 1 клетки вниз. 

В первом классе ответ задачи может быть записан в краткой форме (От. 10 ябл.). 

Со 2 класса слово «Ответ» записывается полностью (Ответ: 10 яблок.). 

Оформление условия задачи при помощи схемы, чертежа, таблицы, диаграммы или рисунка осуществляется с использованием линейки и простого карандаша. Краткую запись не следует делать громоздкой, она должна быть удобной, отображать все числовые данные задачи и взаимоотношения между величинами. 

При оформлении записи задач геометрического характера необходимо соблюдение следующих норм:
  • чертежи выполнять простым карандашом по линейке;
  • геометрическую фигуру чертить в тех случаях, когда этого требует условие задачи;
  • результаты измерений подписывать ручкой;
  • обозначения выполнять прописными буквами латинского алфавита.  

При оформлении математического диктанта следует записывать только ответы в строчку, отступая одну клетку.

учимся работать с таблицей – статья – Корпорация Российский учебник (издательство Дрофа – Вентана)

1. Информационные таблицы

Информационные таблицы содержат данные, которые ученику нужно использовать при выполнении задания. Могут быть указаны площади стран, сведения из биологии, другие показатели. Дети получают задания: «найди информацию», «классифицируй», «расположи по уменьшению» (и возрастанию), «сделай вычисления», «составь вопросы по таблице» и др. Вычисления производятся отдельно.

Примеры заданий

1 класс

(Из проверочных работ. Задание «со звездочкой»)

На даче собрали урожай ягод. Их количество записали в таблицу


Укажите верные утверждения, составленные по таблице.

  • Крыжовника больше, чем малины.
  • Черники меньше, чем крыжовника.
  • Малины столько же, сколько черники.
  • Крыжовника больше, чем черники, но меньше, чем клубники.
2 класс

(Из проверочных работ)

В таблице указано расписание движения поездов

Направление

Номер поезда

Время отправления

Москва — Сочи

083С

20 ч 10 мин

Москва — Уфа

116Й

12 ч 26 мин

Москва — Анапа

109В

23 ч

Запиши ответ на вопросы.

  1. Какой номер поезда Москва — Анапа?
  2. В какое время отправляется поезд Москва — Сочи?
  3. В какой город поезд отправляется раньше всех?
3 класс

«Моя телефонная книга»

Составь свою телефонную книгу. Расположи абонентов в алфавитном порядке. Какие телефоны экстренных служб обязательно должны быть занесены в книгу?

Список абонентов

Телефон




4 класс

Ответьте на вопросы по таблице, в которой записана длина корней некоторых растений.

Пшеница

Фасоль

Горох

Лен

Рожь

150 см

70 см

90 см

80 см

130 см


  1. Какое растение имеет: а) самые длинные корни; б) самые короткие корни?
  2. Расставь растения в порядке уменьшения длины корней.
  3. На сколько сантиметров корни пшеницы длиннее, чем корни льна?
  4. На сколько сантиметров корни гороха короче, чем корни ржи?

Занимательная математика. 1 класс. Рабочая тетрадь

Пособие может быть использовано в начальной школе при проведении занятий математического факультатива, кружка, олимпиады, клуба «Эрудит», интеллектуального марафона и других форм организации внешкольной деятельности учащихся. Задания, включенные в рабочую тетрадь, способствуют формированию у детей самостоятельности, наблюдательности, геометрической зоркости и умения рассуждать, а также создают условия для развития интереса к математике, математического кругозора и эрудиции учащихся.

Купить

2. Справочные таблицы

Справочные таблицы в первом классе показывают числа в пределах 20 с разных точек зрения. И далее, они помогают познакомить учеников с названиями чисел, видами вычислений, разрядами чисел, единицами измерения.

Примеры заданий

1 класс

Назови состав числа 5 по рисунку. Заполни домик.


Найди значение выражений, пользуясь составом числа 5.

4 + 1

3 + 2

5 – 1

5 – 2

2 + 3

5 – 3

1 + 4

5 – 4

2 класс

Рассмотри таблицу чисел от 1 до 100. Назови числа, которые ты знаешь. По какому правилу составлена таблица? Какие числа пропущены?


  1. Сколько двузначных чисел начинаются с цифры 7? Назови их.
  2. Сколько в таблице круглых чисел? Назови их.
  3. Сколько однозначных чисел? Назови их.
  4. Сколько двузначных чисел оканчивается цифрой 2? Назови их.
3 класс

Найди значения выражений и запиши их римскими цифрами.

L – X CCC + D LX – XX
D + C XL + X DC – CD
XXX – V CD – C  

Арабская нумерация

1

5

10

50

100

500

Римская нумерация

I

V

X

L

C

D

4 класс

Выполни задание по таблице.

Таблица разрядов и классов

Класс миллионов

Класс тысяч

Класс единиц

Сот.

Дес.

Ед.

Сот.

Дес.

Ед.

Сот.

Дес.

Ед.

0

0

0

4

6

5

9

0

7

3

2

8

0

0

0

6

5

0

1

7

9

4

5

6

2

0

3

  1. Сколько классов в таблице? Сколько разрядов?
  2. Назови разряды каждого класса.
  3. Какие цифры записаны в разряде десятков миллионов?
  4. Какие цифры записаны в разряде: единиц, единиц тысяч, единиц миллионов?
  5. В каких разрядах записана цифра 3?
  6. Назови старший разряд каждого числа.
  7. Прочитай второе число. Какой класс не назван?

3. Логические таблицы

Логические таблицы ставят перед учениками логические задачи: проанализировать данные, найти закономерности. Например: «дополни таблицу нужными элементами» (фигурами/числами), «продолжи запись», «сопоставь числа и формулы», «вставь подходящее число из предложенных и сделай вычисление» и т.д.

Примеры заданий

1 класс

Кто быстрее (ты или твой сосед по парте) нарисует фигуру, которую нужно поставить на свободное девятое место?


3 класс

Какие числа пропущены в таблице, если r — радиус окружности, а d — диаметр этой же окружности?

r

24 м


125 мм


d


24 дм


125 см

4 класс

Какие высказывания о таблице верные?

10

12

74

48

300

303

330

333

900

927

956

903

  1. В первом столбце записаны круглые числа.
  2. В первой строке записаны четные двузначные числа.
  3. В третьей строке записаны трехзначные числа, которые содержат 9 десятков.
  4. В четвертом столбце записаны числа, которые делятся на 3 без остатка.
  5. Сумма чисел в первой строке равна 144.

Читайте также:

4. Вычислительные таблицы

Вычислительные таблицы являются формой вычислительного задания, то есть ученики производят вычисления непосредственно в таблице. Так школьники повторяют компоненты действий и составы чисел, работают с множителями, делимыми, разностями, остатками и т.д.

Примеры заданий

1 класс

Какие числа пропущены?

Уменьшаемое

8


6

8


7

Вычитаемое


3

4


4


Разность

1

4


6

4

1

2 класс

Назовите числа, которые пропущены в каждой таблице.

Множитель

2


2

8

Множитель

9

2

3


Произведение

18

10


16

Делимое

12

8

18


Делитель

6


9

2

Частное


4


7

Закончи предложения.

  1. Если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получится … .
  2. Если делитель умножить на частное, то получится … .
  3. Если делимое разделить на частное, то получится … .
  4. Если делимое разделить на делитель, то получится … .
3 класс

Какие числа пропущены в таблице?

Делимое

19

61

52


90

236

629

Делитель

2

13


8


10

100

Частное

9


3

100

3


6

Остаток


9

10

13

12

6


4 класс

Вычисли устно и расшифруй название науки. Что она изучает?


Математика. 4 класс. Итоговая аттестация. Базовый и повышенный уровни сложности.

Рабочая тетрадь предназначена для оценки результатов деятельности выпускников начальной школы по освоению курса математики. В нее включены 10 вариантов заданий на двух уровнях трудности. В основе многих заданий лежат ситуации из реальной жизни. Пособие окажет учителям начальной школы помощь в организации диагностических процедур.

Купить

5. Таблицы для решения задач

Таблицы для решения задач подобны вычислительным таблицам, однако используются в заданиях с текстовыми задачами, сопровождаются иллюстрациями, схемами. Такие таблицы часто предусматривают работу с формулами и с пропорциями.

Примеры заданий

1 класс

Составь задачу и реши ее.


2 класс

На пошив спального мешка требуется 4 м ткани. Сколько метров ткани потребуется для 7 спальных мешков? Составь две обратные задачи, используя таблицу.

Расход ткани на 1 мешок

Число мешков

Расход ткани на все мешки




3 класс

За 5 ластиков Оля заплатила 30 р., а Марина за такие же ластики заплатила 54 р. Сколько ластиков купила Марина?


Цена (а)

Количество (n)

Стоимость (c)

О.

Одинаковая

5 шт.

30 р.

М.

? шт.

54 р.

План решения.

  1. Найти цену ластика.
  2. Найти количество ластиков, купленных Мариной.
4 класс

Реши задачу, используя таблицу или схему. Машина в первый день за 8 ч проехала 464 км. Во второй день она была в пути 6 часов и двигалась с той же скоростью. Сколько всего километров проехала машина за два дня?


V

t

S

I

Одинаковая

8 ч

464 км

II

6 ч

? км

I + II

(8 + 6) ч

? км


Задание с таблицей из демоверсии ВПР по математике (4 класс)

Проверяемые умения в соответствии с ФГОС:

  • Умение работать с таблицами, схемами, графиками диаграммами, анализировать и интерпретировать данные.
  • Сравнивать и обобщать информацию, представленную в строках и столбцах несложных таблиц и диаграмм.

Задание:

В спортивных соревнованиях по нескольким видам спорта приняли участие 4 команды. Количество медалей, полученных командами, представлено в таблице. Используя эти данные, ответь на вопросы.

Команда

Золотые

Серебряные

Бронзовые

«Сириус»

7

8

3

«Орион»

6

4

5

«Заря»

4

6

7

«Весна»

3

2

5

1) Сколько серебряных медалей завоевала команда «Сириус»? 2) Какая команда заняла 3-е место по сумме всех медалей?

Решение: 1) 7 + 8 + 3 = 18 (м. ) — «Сириус»; 2) 6 + 4 + 5 = 15 (м.) — «Орион»; 3) 4 + 6 + 7 = 17 (м.) — «Заря»; 4) 3 + 2 + 5 = 10 (м.) — «Весна».

Ответ: 1) 8; 2) Орион.

Вы можете апробировать учебники «Математика» авторства Г. К. Муравина и О. В. Муравиной. Для этого воспользуйтесь акцией «5 учебников бесплатно».

#ADVERTISING_INSERT#


МОДЕЛИ ЗАДАЧ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ НА БАЗЕ СИСТЕМНОГО ОПЕРАТОРА

Рязань 2002г.
Одна из самых распространенных школьных проблем — проблема учебного материала, который не соответствует поставленным целям обучения. Яркий пример — задачи по математике в начальной школе.

Учебная цель — научить решать задачи из учебников по математике.

Результат — большой процент детей не умеют решать задачи, не воспринимают условия, правила решения, порядок действий, смысла и содержание задач. Основная тяжесть обучения ложится на учителей и родителей, которые разными способами пытаются сделать понятными эти коварные задачи.

Предлагаю применить для обучения решению математических задач в начальной школе модели на базе СО (системного оператора).

Проблемы обучения решению математических задач и предлагаемые решения

1. Проблема классификации задач начальной школы

Ныне существующие классификации задач не помогают выявлению их смысла. Т. е. классификации типа: «в одно действие, в два действия, простые, сложные, с косвенным вопросом» и др. не помогают детям решать эти задачи.

Решение. После анализа задач по учебникам математики 1-3 классов я пришел к выводу, что удобнее и понятнее для детей классификация по СО:

  • задачи на части и целое — вертикаль СО;
  • задачи на времена (было, стало, будет) — горизонталь СО;
  • комбинированные — вертикаль и горизонталь СО в одной задаче.

2. Проблема записи условий задачи

Краткая запись условия не показывает структурные связи данных задачи. А отображение условия с помощью отрезков требует развитого абстрактного мышления и не воспринимается слабыми детьми. Отсюда трудности в определении путей решения задачи.

Решение. Условия задачи должны иметь вид структуры задачи и быть достаточно наглядны. Этого можно достичь, если использовать СО для записи условий.

  • Подпроблема 1. СО должен быть минимизирован, чтобы ребенок мог сконцентрироваться на условии задачи.

Решение: рисовать только ту часть СО, которая отражена в данной задаче.

  • Подпроблема 2. Создать конкретный образ минимизированного СО. Я опробовал несколько вариантов и остановился на следующих:
  • Вертикаль «часть-целое» — образные рисунки «чемодан», «коробочка», «мешочек».
  • Горизонталь «время» — рисунок «часы».

3. Проблема понятий и названий величин

Задачи становятся конкретней и четче, если за каждым числом стоит понятие или величина.

«Пройдено 10 км» — путь, «за 2 часа» — время, а если «на две книги больше», то что такое ДВА? И начинаются длинные рассуждения, что ДВА это когда одно больше (меньше) другого. Я называю это «объяснительными разговорами», которые не поставишь в модель условий.

Решение. Вводить сразу названия величин и понятий в структуру задач с их буквенным обозначением.
— целое, — разница, a,b,c — части, К — коэффициент и др.

Подпроблема. В математике не оказалось величины (понятия), обозначающей количество мелких частей в ЕДИНИЦЕ крупной части. Например, на 3-х полках — 30 книг. Сколько книг на одной полке?

Здесь книги — подсистема (части), полки — надсистема (целое), а какую величину надо найти? И опять начинаем «объяснительные разговоры». «Мы должны узнать, сколько книг на одной полке», т.е. идет повторение текста задачи, а не обозначение величины.

Решение. Я ввел понятие «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОРЦИЯ», которое показывает количество мелких частей в единице целого, и обозначил ее буквой «П». Это позволяет в дальнейшем легко перейти на задачи со скоростью, нормой, ценой.

4. Проблема проверки правильности решения задачи

Обычно проверяют не решение задачи, а правильность математических действий в этой задаче, что далеко не одно и то же.

Решение. Проверку производить до начала математических действий, путем проговора условия по записанной модели и сличения его с текстом задачи. Алгоритм речевого построения показан ниже на конкретных примерах.

5. Проблема последовательности действий ученика при решении задач

Таких правил, памяток, описаний, алгоритмов существует много, но они не работают без решения первых четырех проблем. У меня тоже есть 5-6 шагов решения задач, но они опираются на образную модель и правила ее заполнения.

Примеры решения задач с помощью моделей СО

Задача на «части — целое». №19, с. 6, учебник 2-го класса Моро и Бантова.
В банке было 3 л молока, а в бидоне на 6 л больше. Сколько литров молока было в банке и в бидоне вместе?

Шаг 1. Определение типа задачи.
Определение типа задачи делается по ключевым словам: названиям частей и названию целого.
Здесь названия крупных частей: «БАНКА» и «БИДОН», мелкая часть «МОЛОКО», целое — «ВСЕГО», разница — «НА БОЛЬШЕ».
Шаг 2. Выбор и рисование модели для данного типа задач.
Для типа задач на «ЦЕЛОЕ И ДВЕ РАЗНЫЕ ЧАСТИ С РАЗНИЦЕЙ» — это «ЧЕМОДАН С ДВУМЯ КОРОБОЧКАМИ».

Примечание.

Рисунки моделей и формулы для них висят на виду и при изучении находятся перед глазами, а потом запоминаются и рисуются по памяти в тетради, как условие задачи.

Обозначения: «РУЧКА» — целое, «ЗАМОЧКИ» — названия крупных частей, «КОРОБОЧКИ» — мелкие части, «НОЖКИ» — единицы измерения, знак «РАЗНИЦЫ» — «БОЛЬШЕ», «МЕНЬШЕ» рисуется между коробочками.


Формулы.

ЦЕЛОЕ получается сложением его частей.

РАЗНИЦА определяется вычитанием МЕНЬШЕЙ части из БОЛЬШЕЙ.

МЕНЬШАЯ часть определяется вычитанием РАЗНИЦЫ из БОЛЬШЕЙ.

БОЛЬШАЯ часть определяется сложением МЕНЬШЕЙ и РАЗНИЦЫ.

МЕНЬШАЯ часть определяется вычитанием БОЛЬШЕЙ из ЦЕЛОГО.

БОЛЬШАЯ часть определяется вычитанием МЕНЬШЕЙ из ЦЕЛОГО.

Шаг 3. Заполнение «ЧЕМОДАНА», запись названий, чисел, единиц измерения. Нахождение места для знака вопроса.


Шаг 4. Проверка правильности записи условий (заполнения чемодана).

Проверка выражается проговором записанных чисел и вопроса по чемодану и сличение этих фраз с текстом.

По «чемодану» — «Три литра в банке».
По тексту — «В банке было 3 литра молока».
Вывод —«правильно».

По «чемодану» — «На 6 л в бидоне больше, чем в банке».
По тексту — «В бидоне на 6 литров больше»
Вывод — «правильно».

По «чемодану» — «Сколько литров в банке и в бидоне вместе?».
По тексту — «Сколько литров молока было в банке и в бидоне вместе?»
Вывод — «правильно».

Шаг 5. Запись главной формулы и доведение ее до известных величин.

Из набора формул к данной модели найти формулу для данной задачи по месту нахождения вопроса. Вопрос стоит в «Ручке». Ищем формулу для «ЦЕЛОГО»:
или «ВМЕСТЕ» = «Банка» + «Бидон».

Подчеркнуть неизвестную величину. Здесь это b или «Бидон».
Найти и написать новую формулу для подчеркнутой неизвестной величины.

Здесь — это «БОЛЬШАЯ ЧАСТЬ».
или «Бидон» = «Банка» + «РАЗНИЦА».

Все величины известны, можно подставлять числа.

Шаг 6. Подставить числа и сделать вычисления в уже записанных формулах.


Шаг 7. Записать полученные числа в «ЧЕМОДАН». Проговорить и записать ответ по его месту.

«12 литров в банке и бидоне вместе».

Задача на «изменения во времени». №58, с. 13, учебник 2-го класса Моро и Бантова.
В букете было 12 астр. Несколько астр подарили. Осталось 7 астр. Сколько астр подарили.

Шаг 1. Определение типа задачи.
Определение типа задачи делается по ключевым словам — временным глаголам: «БЫЛО», «ОСТАЛОСЬ», «ПОДАРИЛИ».

Шаг 2. Выбор и рисование модели для данного типа задач.

Для типа задач на «ВРЕМЕННЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ» — это «МЕШОЧКИ» для начальных и конечных величин, «ЧАСЫ» для «УВЕЛИЧЕНИЯ» или «УМЕНЬШЕНИЯ».

Примечание.

Рисунки моделей и формулы для них висят на виду и при изучении находятся перед глазами, а потом запоминаются и рисуются по памяти в тетради, как условие задачи.

Обозначения: «РУЧКИ» — названия крупной части, «ДНО МЕШОЧКА» — единицы измерения, «СРЕЛКИ В ЧАСАХ» — увеличение — стрелки вправо, уменьшение — стрелки влево.

 

Формулы.

«НА УВЕЛИЧЕНИЕ»
n = k — , БЫЛО меньше.
k = n + , СТАЛО больше.
= k — n , УВЕЛИЧЕЛОСЬ на разницу между началом и КОНЦОМ.

«НА УМЕНЬШЕНИЕ»
n = k + , БЫЛО больше,
k = n — , СТАЛО меньше.
= n — k , УМЕНЬШИЛОСЬ на разницу между началом и КОНЦОМ.

Шаг 3. Заполнение «МЕШОЧКОВ», «ЧАСОВ», запись названий, глаголов, чисел, единиц измерения. Нахождение места для знака вопроса.


Шаг 4. Проверка правильности записи условий (заполнения модели).

Проверка выражается проговором записанных чисел и вопроса по «часам» и «мешочкам», сличение этих фраз с текстом.

По «МЕШОЧКАМ»:
«было в букете 12 астр».
По тексту: «в букете было 12 астр».
«осталось в букете 7 астр».
По тексту: «осталось 7 астр».

По «ЧАСАМ»: «Сколько подарили?».
По тексту: «Сколько астр подарили?».

Шаг 5. Запись главной формулы и доведение ее до известных величин.

Из набора формул к данной модели найти формулу для данной задачи по месту нахождения вопроса. Вопрос стоит в «ЧАСАХ». Ищем формулу для «УМЕНЬШЕНИЯ»

= n — k = 12 —7 = 5 астр.

Шаг 6. Записать полученные числа в «ЧАСЫ». Проговорить и записать ответ по его месту.

«Подарили 5 астр».

Конспект урока по математике — начальные классы, уроки

МБОУ г. Иркутска СОШ №50

КОНСПЕКТ УРОКА

МАТЕМАТИКИ

В     1 КЛАССЕ

УМК «Школа России».

Тема «Задача».

Подготовил: учитель начальной школы

Хадаева Наталия Михайловна

2018г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок математики в 1 классе.

УМК «Школа России»

Тема: «Задача».

Цель: через сравнение и наблюдение познакомить с понятием «задача», со структурой задачи (условие, вопрос).

Планируемые результаты: учащиеся научатся

  • выполнять анализ задачи;
  • выделять задачи из предложенных текстов;
  • записывать решение и ответ задачи;
  • планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её выполнения;
  • определять наиболее эффективные способы достижения результата;
  • оценивать себя, границы своего знания и незнания;
  • работать в паре и оценивать товарища.

Формируемые УУД:

Предметные – находить и формулировать решение задачи с помощью простейших моделей (предметных рисунков, схематических рисунков, схем).

Метапредметные – признавать возможность существования различных точек зрения и права каждого иметь свою;

 — излагать своё мнение и аргументировать свою точку зрения.

Личностные – понятие и освоение социальной роли обучающегося;

осознание собственных мотивов деятельности и личностного смысла учения.

 

ХОД УРОКА

  1. Организационный момент
  2. Актуализация знаний
  • Логическая разминка (работа по учебнику). Слайд 1.

Прочитайте задание. Кого из мальчиков как зовут? (справа налево: Дима, Саша, Толя).

Прочитайте задание к рисунку на полях. Какая фигура следующая? (прямоугольник, ширина которого составляет одну палочку, а длина – 4 палочки).

  • Индивидуальная работа. Слайд 2. Ученики у доски заполняют пропуски. Проверка.

8-1-1=  3=…=5  6-…=3

1-1-1=  9+…=10  …-2=6

7+1+1=  7-1-…=5  …-1=8

6+0=   10-…-…=8  …-3=7

5-5=   6+…+…=8  5+…=10

  • Устный счёт. Игра «Составь поезд».

Номера вагонов зашифрованы с помощью арифметических выражений. Найди значения арифметических выражений и составь поезд в порядке возрастания номеров.

 

 

 

  • Фронтальная работа.

Составьте выражения по рисунку. Объясните их смысл.

 

 

 

(3+2=5; к 3 кругам прибавили 2 треугольника, получили 5 фигур;

2+3=5; к 2 треугольникам прибавили 2 круга, получили 5 фигур;

5-3=2; из 5 фигур убрали 3 круга, получили 2 треугольника;

5-2=3; из 5 фигур убрали 2 треугольника, получили 3 круга.

Составьте рассказ по рисунку. Слайд 3.

             

  1. Самоопределение к деятельности.

Послушайте два рассказа и сравните их.

  • На базаре купили 2 свёклы и один кочан капусты. Сколько всего овощей купили?
  • На базаре купили 2 свёклы и один кочан капусты. Овощи очень полезные.

— Какой из этих рассказов можно поместить в учебник «Математика», а какой в учебник «Окружающий мир»? Докажите. (Первый рассказ – в учебник «Математика», а второй – в учебник «Окружающий мир», так как в первом рассказе есть вопрос, для ответа на который нужно выполнить вычисления).

— Как называется первый рассказ на языке математики? (Задача).

— О чём пойдёт речь сегодня на уроке? (Ответы детей).

— Правильно, сегодня мы узнаем, какой рассказ называется задачей, из каких частей состоит задача.

(Появляется надпись «Задача»).

  1. Работа по теме урока.

Знакомство со структурой задачи. Слайд 4.

-Что известно в задаче? (На базаре купили 2 свёклы и один кочан капусты).

На языке математики это называется условием задачи. (Появляется надпись «Условие задачи»).

-Что нужно узнать? (Сколько всего овощей купили). Это вопрос задачи. (Появляется надпись «Вопрос задачи»).

-Сосчитайте, сколько овощей купили. (2+1=3(ов.)). Это решение задачи. .(Появляется надпись «Решение задачи»).

-Ещё раз прочитайте вопрос и ответьте на него. (Купили 3 овоща). Это ответ задачи.  (Появляется надпись «Ответ задачи»).

Работа по учебнику. Слайд 5.

-Прочитайте на с. 88, что мы должны узнать сегодня на уроке.

№1 (с. 88).

-Прочитайте условие задачи. Как другими словами можно сказать, что такое условие задачи?  (Это то, что нам известно).

-Прочитайте вопрос задачи. Как другими словами можно сказать, что такое вопрос задачи?  (Это то, о чём спрашивают, что нужно узнать).

-Прочитайте решение задачи. Объясните, почему вы решили эту задачу сложением?  (Чтобы узнать, сколько всего карандашей, их нужно сложить вместе и сосчитать).

-Прочитайте ответ задачи.

№2 (с. 88). Разбор аналогично предыдущей задаче. Слайд 6.

№3 (с. 88). Слайд 7.

-Прочитайте, что известно в задаче.  (Слава сделал 5 корабликов.  Он отдал товарищу 2 кораблика.)

-Как называется то, что вы сейчас прочитали? (Условие задачи).

-Прочитайте, что нужно узнать.  (Сколько корабликов осталось у Славы.)

-Как называется то, что вы сейчас прочитали? (Вопрос задачи).

-Объясните решение задачи. (Слава кораблики отдал. Их стало меньше, поэтому из5 вычитаем 2).

-Ответьте на вопрос задачи. (У Славы осталось 3 кораблика).

5. Физкультминутка «По местам!» ( Порядковый счёт в пределах десятка), клип «Утренняя гимнастика».

6. Закрепление изученного материала.

Работа по учебнику №4 (с. 89). Слайд 8.

-Решите примеры с помощью числового ряда.  (Самостоятельное выполнение. Фронтальная проверка).

№5 (с. 89).

-Что нужно сделать? (Самостоятельное выполнение. Проверка в парах).

№6 (с. 89).

-Объясните, как составлены равенства в 1 столбике. (К 1 прибавили 2 получилось 3. Значит, 3 это 1 и 2. Если из 3 вычесть 2, получится 1).

-Какое ещё равенство можно составить по этому рисунку? (3-1=2). Второй и третий столбики разбираем по аналогии в парах.

Работа в тетради с печатной основой. Слайд 9.

— Откройте тетрадь на с.33.

-Прочитайте условие первой задачи. (У кошки 3 белых котёнка и 2 чёрных.)

-Составьте из разрезного материала схему, изобразив котят кругами и квадратами..

-Прочитайте вопрос задачи. (Сколько всего котят?)

-Каково решение задачи? (3+2=5(к)).

-Назовите ответ задачи. (Всего 5 котят).

По аналогии разбирается вторая задача. Следующее задание ученики выполняют самостоятельно. Проверка).

-Прочитайте неравенства со знаком «больше». (7-2>4, 9-1>7, 7+2>8).

-Прочитайте равенства (8+1=9).

-Прочитайте следующее задание. Как получить число 5 разными способами? (5=3+2, 5=2+2+1, 5=3+1+1, 5=1+1+1+1+1).

-Прочитайте последнее задание.

-Начертите отрезки.

-Чему равен второй отрезок? (4см).

7. Рефлексия.

КИМы, задание 1 с.49 (работа над задачей).

8. Подведение итогов урока.

-Какие математические термины сегодня узнали? (Задача, условие задачи, вопрос задачи, решение задачи, ответ задачи).

-Для чего нужно уметь решать задачи? (Они встречаются в жизни постоянно. Решаем задачи, когда варим суп, едем на машине и т. д.)

9. Домашнее задание (по желанию). Слайд 10.

1. Спросить у родителей, где им приходится решать задачи.

2. Придумать самостоятельно задачу.

10. Мониторинг психологической комфортности.

Выберите смайлик, который подходит к вашему настроению от урока.

Литература:

  1. М.И.Моро, С.И. Волкова, С.В. Степанова. Математика. 1 класс. Учебник, часть 1. М:Просвещение, 2013.
  2. М.И.Моро, С.И. Волкова. Математика. 1 класс. Рабочая тетрадь,    часть 1. М:Просвещение, 2014.
  3. Математика. Контрольно-измерительные материалы. 1 класс. Составитель Т.Н. Ситникова. М:ВАКО, 2014.
  4. Т.Н. Ситникова, И.Ф. Яценко. Поурочные разработки по математике к УМК М. И. Моро. 1 класс. М:ВАКО, 2013.

Электронные образовательные ресурсы:

  1. Авторская программа урока для интерактивной доски.

     2. http: ns portal.ru

     3. http: pro Шkolu.ru

 

Оборудование к уроку:

  1. Для учащихся: учебник часть 1, рабочая тетрадь часть1, КИМы, счётные палочки, разрезной материал.
  2. Для учителя: учебник часть 1, рабочая тетрадь часть1, КИМы, компьютер, магнитная доска, интерактивная доска, медиапроектор, касса магнитных фигур, букв и цифр.

Цена. Количество. Стоимость / Задачи / Справочник по математике для начальной школы

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике для начальной школы
  4. Задачи
  5. Цена. Количество. Стоимость

В этом разделе научимся решать задачи и составлять таблицы по теме «Цена. Количество. Стоимость» и научимся находись зависимость между этими величинами.

Цена. Количество. Стоимость.

Стоимость – это то, что мы заплатили за всю покупку. 

Задача 1: Наташа купила 5 открыток по 3 р. за каждую. Сколько стоила вся покупка?

Количество Цена Стоимость
5 шт. 3 р. ?

3 • 5 = 15 (р.)

Чтобы узнать стоимость, нужно цену умножить на количество.


Цена. Количество. Стоимость. 

Цена показывает сколько стоит один предмет.

Задача 2: Наташа купила 5 открыток и заплатила за них 15 р. Сколько стоила одна открытка?

Количество Цена Стоимость
5 шт. ? 15 р.

15 : 5 = 3 (р.)

Чтобы найти цену, нужно стоимость разделить на количество.


Цена. Количество. Стоимость. 

Количество показывает сколько предметов мы купили.

Задача 3: Наташа купила несколько открыток по 3 р. за каждую и отдала за покупку 15 р. Сколько открыток купила Наташа?

Количество Цена Стоимость
? 3 р. 15 р.

15 : 3 = 5 (шт.)

Чтобы найти количество, нужно стоимость разделить на цену.


Запомни!

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Образцы оформления задачи

Обратные задачи

Скорость, время, расстояние

Задачи

Правило встречается в следующих упражнениях:

3 класс

Страница 23, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 34, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 26, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 41. Вариант 2. № 6, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 46. Вариант 1. Проверочная работа 1, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 51. Вариант 2. Проверочная работа 3, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 46, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 102, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 108, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 15, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

4 класс

Страница 11, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 68, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 69, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 6. Вариант 1. Проверочная работа 1, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 59. Вариант 2. Проверочная работа 2, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 71. Вариант 2. Проверочная работа 2, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 9, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 62, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 85, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 41, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

5 класс

Задание 458, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 478, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1454, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1477, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Упражнение 140, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 440, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 441, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 460, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 463, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Задание 739, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 782, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


© budu5. com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

38 типов задач начальной школы за 1 день

Научитесь решать все типы задач по математике

за 1 день и помогите ребенку учиться в школе

Принять участие

В современной начальной школе за 4 года проходят

38 типов задач

по математике, при этом:

  • Есть ответ, нет решения — 2
  • Неверный порядок множителей — 2
  • Есть решение, но нет ответа — 2
  • Неверно выбран способ решения — 2
  • Нет краткой записи — 2

На уроке объясняют, как правильно, но ребенок забывает, придя домой и психует, когда мама объясняет не так, как учитель

Да и многие задачи вообще выглядят абсурдными и непонятно, почему их дают детям

Принять участие

кто автор тренинга

Рената Кирилина

  • Мама двух сыновей-школьников и грудной дочки
  • Эксперт №1 по эффективному обучению детей в школе
  • Прошла путь от учителя до директора школы в Санкт-Петербурге и знает все подводные камни системы образования
  • Практик, все техники эффективного обучения прошли проверку на тысячах детей
  • Автор методики «Сложное простыми словами» и «Техник эффективного обучения»
  • География учеников охватывает всю Россию, страны СНГ, Европы, США, Канаду
  • Основатель и директор «Школы умных детей»

Чтобы помочь ребенку решать задачи, надо сначала самому понять, как их решать

А их 38 видов в начальной школе

Именно для этого мы создали однодневный тренинг «38 типов задач начальной школы за 1 день!», на котором за 1 день Вы:

 

  • Научитесь решать все 38 типов задач начальной школы
  • Узнаете как научить ребенка понимать текст задачи
  • Узнаете как научить ребенка оформлять краткую запись
  • Узнаете как научить ребенка определить, как решать задачу
  • Сможете объяснить разницу между 2*9 и 9*2 в задаче
  • Получите простой Алгоритм-инструкцию «Как решать задачи»
  • Узнаете типы задач 1 класса и способы простого объяснения
  • Узнаете типы задач 2 класса и способы простого объяснения
  • Узнаете типы задач 3 класса и способы простого объяснения
  • Узнаете типы задач 4 класса и способы простого объяснения
  • Узнаете Формулу «треугольник» для решения задач на движение, цену, количество и стоимость.

Принять участие

формат тренинга.

Запись программы.

 

За 6 часов разбираются все типы задач в начальной школе

 

Программа состоит из 2х частей и методички

 

Записи выложены в систему ведения тренингов, где можно задавать вопросы по программе

Принять участие

Что говорят участники программы

все отзывы, а так же ссылки на участников,

у которых вы можете спросить о программе

Стоимость

Обычная цена

Цена сегодня

2 500 ₽

Акция может закончиться через:

принять участие

100% гарантия возврата средств

Мы дорожим своей репутацией и поэтому даем

100% гарантию на результат.

 

Если прослушав запись вы поймете, что материал не соответствует заявленным обещаниям, мы вернем вам все уплаченные деньги.

 

С Вас только честное мнение, чего именно Вам не хватило, чтобы мы могли сделать продукт еще лучше

— гарантия —
возврата

Чем отличаются учебники математики в классах с развивающим обучением от традиционных

Существует много мифов о системе развивающего обучения Д. Б. Эльконина – В. В. Давыдова. Однако я точно знаю, что как в прошлом, так и в будущем, какие бы цели и задачи ни стояли перед учителем математики, его всегда волновало, как научить ребёнка решению задач, измерениям, навыкам счета (хотя сегодня практически у каждого ребёнка есть телефон с калькулятором). Как мотивировать ученика на действия с числами? Как сформировать у него мотивационное ядро? Как вырастить детей счастливыми, успешными, достойными людьми без комплекса неудачника?

Жизнь учителя – это постоянная забота о том, какими средствами вооружить ребёнка, чтобы он смело брался за решение любой задачи, как сформировать у него универсальные учебные действия (УУД), без которых эту задачу решить нельзя, какие придумать игры, особенно в первый год обучения, ведь ведущей деятельностью в дошкольном возрасте была игра, а учебную деятельность еще надо сформировать, и это не так быстро и не так просто, как кажется многим.

Так вот, сразу скажу, что ключевая игра, которая отражена в комментариях для взрослых в учебнике («Математика», автор Э.И. Александрова. – Прим. ред.) для 1-го класса и в самих заданиях всего курса математики – это игра под условным названием «научи другого»: любой человек независимо от возраста и положения может ошибаться, в том числе и учитель, и родители. На уроке роль такого ошибающегося человека берёт на себя прежде всего учитель.

Играть эту роль ему помогают так называемые задания с ловушками, то есть задания со специально допущенными ошибками или с недостающими данными, или с избыточными данными, или софизмы, которые красной нитью проходят через все учебники.

Дети очень быстро могут раскусить учителя, намеренно делающего ошибки от своего имени или имени детей из другого класса, но эта игра им очень нравится, и уже начиная с 3-го класса дети неоднократно просили, чтобы в заданиях с ловушками не было указания, что они там есть.

Однако эксперты, не вникая в особый характер подобных заданий, указывали на то, что автор сам допускает ошибки, хотя должен быть нацелен на их искоренение. Надо добавить, безусловно, в любой книге, как бы тщательно она ни готовилась к печати, нет-нет да и проскакивают опечатки. Плохо это? Без сомнения! Но только не для наших учеников, которые уверены, что их сделали намеренно, чтобы дать им повод для глубокого анализа этой «задачи с ловушкой». Именно такие задания служат основой для формирования у детей самоанализа, самооценки и являются важнейшим условием саморазвития.

Таким образом, главным отличием подхода к обучению математике в системе Д. Б. Эльконина – В. В. Давыдова является его содержание.

Иногда считается, что если напичкать учебник разными развивающими заданиями или, наоборот, простейшим заданиям придать статус развивающих, что можно сделать без особого труда, то мы будем иметь эффективную развивающую программу, однако это не так.

Все знакомы с идеями проблемного обучения, и многие применяют их в своей работе, так зачем же огород городить, если и так есть теории, позволяющие улучшить работу учителя.

В чем разница? Чем система обучения по Д. Б. Эльконину – В. В. Давыдову отличается от проблемного обучения, хотя вроде бы ей и является? А разница как раз и состоит в том, что в нашем случае это не отдельные уроки, которые можно провести как проблемные, а целостная система специально отобранных и выстроенных в жесткой логической последовательности учебных задач, каждая из которых направлена на открытие общего способа действий.


Приведу пример. Если ребенок обнаружит и поймет (а мы не задаем понятия в готовом виде!), как образуется каждый следующий разряд в любой системе счисления (а ребёнку легче, как это ни покажется странным, обнаружить общий принцип устройства многозначного числа на двоичной, троичной, четверичной системе счисления), и в том числе десятичной, то ему не важно, сколько разрядов будет в числах, которые он собрался складывать (сравнивать, вычитать, умножать, делить), ведь он знает, что, как только наберётся 10 (а для двоичной – 2, для троичной – 3, для четверичной – 4 и т. д., а при измерении времени часами единица – это 60 минут, минута – это 60 секунд) единиц одного разряда, это будет единица следующего.

Если ребёнок откроет для себя общий принцип поразрядности, хотя анализировать будет сложение многозначных чисел, то ему для их сложения тем более будет неважно, сколько знаков в числах-слагаемых. Этот общий принцип поразрядности и построенный ими алгоритм выполнения действия сложения (а он отличается от привычного!) они перенесут и на остальные арифметические действия с многозначными числами. Согласитесь, что такие открытия при участии учителя как организатора исследования дают возможность ребёнку испытать те же чувства, которые испытывает ученый, сделавший открытие.

Последовательная смена одной учебной задачи другой происходит по принципу, который я называю принципом «сломанного замка». Когда вы ежедневно открываете дверь ключом (а это значит для ситуации обучения, что ребёнок овладел неким умением и даже, возможно, навыком), то вы не задумываетесь о том, как устроен замок (а это значит, что нет необходимости в знании об устройстве замков), когда есть умение, которого вполне достаточно для решения конкретной задачи.

Но как только замок сломался, то возникает естественная потребность узнать, а что же там внутри, как устроен замок, его принцип работы (хотя в реальной жизни мы поручаем это делать специалисту, если сами не можем понять, возможно ли его отремонтировать или надо ставить новый – на чём нас можно, кстати, и обмануть).

На языке обучения это означает, что и у ребёнка в процессе обучения должна возникать естественная потребность в знаниях – как основании собственных умений.

УЗНы, а не ЗУНы – такова логика изучения математики, которую мы сейчас представляем.

Например, дети в течение почти двух лет учатся измерять отрезки, полоски и другие предметы. Ребенку дают мерку, он прикладывает её, делает метки, ведёт счет и записывает результат и делает это сначала в группе, где каждый из четырех детей выполняет свою операцию (по ходу работы они меняются ролями), осваивая весь алгоритм измерения пооперационно, пошагово, что означает, что каждый умеет «открывать замок ключом». Как же «сломать замок»? Очень просто.

Можно предложить маленькую меру для измерения величины, которая значительно больше (к примеру, измерить длину коридора спичкой, которой они только что измеряли длину учебника или полоски).

Часто отдельные дети, не задумываясь, пытаются сразу измерять, но большинство обнаруживает и без измерения, с помощью прикидки, что данная мерка неудобная, а значит надо разобраться, что произошло, почему способ, которым мы умеем действовать, теперь не годится, а значит возникает естественная необходимость в поиске нового способа действия. Вот так мы и приходим к введению понятия умножения как переходу к новой большей мере, получив в результате выражение: по _____ взять ____ раз и затем формулу умножения: a•b=c.

Еще пример. Мы привыкли к тому, что надо сначала с ребенком выучить таблицу сложения, таблицу умножения, а лишь потом учить их сложению и соответственно умножению многозначных чисел. Это я расцениваю так: вызубри таблицу, а потом узнаешь, зачем она тебе нужна.

Но я сотни раз видела счастливые лица детей, когда, открыв для себя принцип поразрядности при сложении многозначных чисел до рассмотрения таблиц сложения (а потом умножения), они делали грандиозное открытие: чтобы научиться складывать (умножать) любые многозначные числа, достаточно научиться складывать (умножать) однозначные числа от 0 до 9.

Дети сами ставили перед собой задачу запоминания таблиц, поскольку им не терпелось быстрее складывать многозначные числа.

Изучение самих таблиц тоже в корне отличается от привычного зазубривания. Придумана такая методика работы над таблицами, которая основана на исследовании каждой таблицы, на её особенности, что позволяет удерживать интерес к таблицам на протяжении всего времени изучения, дает возможность здесь и сейчас использовать её при работе с многозначными числами. Всё это и многое другое создает предпосылки и условия для непроизвольного запоминания.

К примеру, последовательность изучения таблиц умножения такова: умножение 0 и 1 на любое число, а значит и на 10, 100, 1000 и так далее, затем умножение 9 (девяти, а не на 9), 2 (двух, а не на 2), 5, 6, 4, 8, 3 и 7. Переместительное свойство умножения позволит и обратное умножение на 9, 2, 5 и так далее.

Не сомневаюсь, вы догадываетесь, что такая последовательность не случайна, поскольку построена принципиально другая логика изучения таблиц умножения, как и до них таблиц сложения, исходя из тех особенностей, о которых я упоминала – речь идет об исследовании свойств каждой таблицы и связей между ними.

Не знаю, всех ли обрадует перспектива анализа каждой таблицы с её неповторимыми особенностями и сумасшедшим интересом детей, ведь гораздо легче предложить родителям за лето перед началом 2-го класса выучить с ребёнком таблицу умножения. Кому нужны проблемы во время учебного года?

Но вот что точно должно обрадовать любого учителя, на мой взгляд, – это принципиально новая методика обучения делению многозначных чисел. Именно деление многозначных чисел считается самым трудным действием как для детей, так и для учителей при обучении. Почему?

Прежде всего при переходе к делению многозначного числа на однозначное меняется привычный традиционный алгоритм выполнения действий сложения, вычитания, умножения – всегда начинали выполнять действия справа налево, то есть от младшего разряда к старшему, а при делении надо начинать со старшего разряда; далее появляется новая операция по определению количества цифр в частном, которой тоже не было в предыдущем опыте, но без неё ошибки в пропуске нулей в частном не заставят себя долго ждать, как и после того как дети перестают делать заготовку в частном.

И, наконец, операция подбора цифры в частном и последующая проверка точности выбора – это то, что отнимает у ребёнка не только много времени, но и сил! При той методике, которую я предлагаю при изучении действий с многозначными числами, снимаются эти проблемы, поскольку, чтобы делить, достаточно уметь только умножать, это во-первых, а во-вторых, кроме прочего, придуманы новые типы заданий, лежащие в основе обучения. То же могу сказать и о текстовых задачах. Всего две схемы и их сочетание фактически дают возможность решать целый огромный класс задач.

Я привожу здесь отдельные примеры, которые лишь демонстрируют особенности подхода в обучении математике, принцип её построения, где:

– не нужна никакая искусственно созданная игра, чтобы ребёнок захотел решать ту или иную задачу;

– не нужно думать о том, как параллельно с обучением математике сформировать у ребёнка УУД, среди которых такие важнейшие действия, как целеполагание, моделирование, контроль и оценка;

  • научить их общаться помогает групповая и коллективная работа на уроке, которая тоже определена содержанием;
  • нужно помогать друг другу, а не закрываться от соседа;

– важно сформировать у них теоретическое мышление с его рефлексией, анализом и планированием, а не опираться только на эмпирическое мышление.

За все эти задачи отвечает содержание обучения, именно оно определяет методы, средства, формы организации и формы общения и создаёт условия, в которых комфортно и учителю, и ученику. И последнее напоминание: без труда не вынешь рыбку из пруда! Думаю, вы понимаете, о чём это я. Освоение нового для учителя содержания, непривычных методов, форм организации и форм общения невозможно без огромной любви к детям и непреодолимого желания сделать всё, чтобы ребенку было интересно, независимо от его успехов.

И не бойтесь того, что не каждому ребёнку будет дана возможность продолжить обучение по системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова в основной школе.

Практически у всех детей после обучения в начальной школе, по какой бы программе они ни учились, возникают трудности, связанные с тем, что меняется состав учителей, методы работы учителя, требования. Проблема преемственности обсуждается всегда и везде, и не один раз за год, однако воз и нынче там.

Для меня проблема преемственности не в этом. Это было, есть и будет всегда. Проблему преемственности важно рассмотреть с точки зрения преемственности в содержании.

О какой преемственности можно говорить, если, к примеру, умножение в начальной школе вводится как сумма одинаковых слагаемых (что справедливо только на множестве натуральных чисел, да и то не для всех, а начиная с числа 2), но о каких слагаемых может идти речь, если в 5–6-х классах дети имеют дело с дробями? И таких примеров можно привести много не только на примере арифметики, но и геометрии, элементы которой рассматриваются младшими школьниками.

Так вот, с моей точки зрения, надо в начальной школе заложить общие основания понятий, чтобы они не вступили в противоречие с рассмотрением этих же понятий в основной школе, и тогда не надо делать трагедию из того, что ребёнок, проучившийся по системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, попадает в классы, которые учились по другой программе, ведь устойчивый познавательный интерес, сформированный в рамках нашей системы, не поддаётся губительному для личности ребёнка разрушению, а значит не надо отнимать у детей 4 года увлекательной учёбы только потому, что учителя основной школы не могут или не хотят продолжить дело, начатое нами.

Не бойтесь освоить новое. Серые будни никогда не заменят радостных глаз ребёнка. Это трудно, потому что непривычно, но скучно точно не будет. Это я вам обещаю!.

Определение математических задач и решение проблем: убеждения будущих учителей начальной школы на Кипре и в Англии

  • Адамсон, Б., и Моррис, П. (2007). Сравнение учебных программ. В М. Брей, Б. Адамсон и М. Мейсон (ред.), Сравнительное исследование образования: подходы и методы (том 19, стр. 263–282). Дордрехт: Спрингер.

    Google ученый

  • Aguirre, J., & Speer, N. (1999). Изучение взаимосвязи между убеждениями и целями в педагогической практике. Журнал математического поведения, 18 (3), 327–356.

    Артикул Google ученый

  • Андерсон, Дж., Уайт, П., и Салливан, П. (2005). Использование схематической модели для представления влияний и взаимосвязей между убеждениями и практиками учителей в решении проблем. Научно-исследовательский журнал математического образования, 17 (2), 9–38.

    Артикул Google ученый

  • Андрееску Т., Галлиан Дж., Кейн Дж. И Мерц Дж. (2008). Межкультурный анализ студентов с исключительными способностями к решению математических задач. Уведомления Американского математического общества, 55 (10), 1248–1260.

    Google ученый

  • Эндрюс, П. (2003). Возможность учиться в классе математики в Будапеште. Международный журнал естественнонаучного и математического образования, 1 (2), 201–225.

    Артикул Google ученый

  • Эндрюс, П. (2007). Важность математики в учебной программе: сравнение убеждений учителей английского и венгерского языков. Journal of Curriculum Studies, 39 (2), 317–318.

    Артикул Google ученый

  • Эндрюс, П. (2011). Культурное местоположение математических знаний учителей: еще одна скрытая переменная в исследованиях математического образования? В T. Rowland & K. Ruthven (Eds.), Математические знания в обучении (Том 50, стр. 99–118). Нью-Йорк: Спрингер.

    Google ученый

  • Аркави, А., & Фридлендер, А. (2007). Разработчики учебных программ и решение проблем: пример израильских проектов начальной школы. ZDM, 39 (5), 355–364.

    Артикул Google ученый

  • Artigue, M., & Houdement, C. (2007). Решение проблем во Франции: дидактические и учебные перспективы. ZDM, 39 (5/6), 365–382.

    Артикул Google ученый

  • Avcu, S., & Авджу Р. (2010). Использование учителями элементарной математики стратегий при решении математических задач. Процедуры — социальные и поведенческие науки, 9 , 1282–1286.

    Артикул Google ученый

  • Bassok, M., Pedigo, S., & Oskarsson, A. (2008). Добавление фактов с помощью семантических отношений. Журнал экспериментальной психологии: обучение, память и познание, 34 (2), 343–352.

    Google ученый

  • Блюм, В., & Нисс, М. (1991). Решение прикладных математических задач, моделирование, приложения и ссылки на другие предметы — Состояние, тенденции и проблемы в обучении математике. Образовательные исследования по математике, 22 (1), 37–68.

    Артикул Google ученый

  • Бораси, Р.(1986). О характере проблем. Образовательные исследования по математике, 17 (2), 125–141.

    Артикул Google ученый

  • Браун, А. (2008). Точка зрения жестов на японском и английском языках: межъязыковые взаимодействия между двумя языками в одном говорящем. Жест, 8 (2), 256–276.

    Артикул Google ученый

  • Цай, Дж. (2004). Почему У.С. и китайские студенты по-разному думают о решении математических задач? Изучение влияния раннего изучения алгебры и убеждений учителей. Журнал математического поведения, 23 , 135–167.

    Google ученый

  • Цай, Дж. И Ни, Б. (2007). Решение проблем в китайском математическом образовании: исследования и практика. ZDM, 39 (5), 459–473.

    Артикул Google ученый

  • Каллехо, М., & Вила, А. (2009). Подход к решению математических задач и системы убеждений студентов: два тематических исследования. Образовательные исследования по математике, 72 (1), 111–126.

    Артикул Google ученый

  • Чепмен О. (1997). Метафоры в обучении решению математических задач. Образовательные исследования по математике, 32 (3), 201–228.

    Артикул Google ученый

  • Чепмен О. (1999). Повышение квалификации учителей в области решения математических задач. Журнал педагогического образования математики, 2 (2), 121–142.

    Артикул Google ученый

  • Чепмен, О. (2006). Практика в классе для решения словесных задач по математике. Образовательные исследования по математике, 62 (2), 211–230.

    Артикул Google ученый

  • Charalambous, C., Philippou, G., & Kyriakides, L. (2004). На пути к единой модели учета интересов учителей и убеждений в эффективности реформы математики. Труды 28-й конференции Международной группы психологии математического образования (Том 2, стр. 199–206).

  • Кристу К. и Филиппу Г. (1998). Развивающий характер способности решать одноступенчатые задачи со словами. Журнал исследований в области математического образования, 29 (4), 436–442.

    Артикул Google ученый

  • Коэн Д. (1990). Революция в одном классе: случай миссис Ублиер. Образовательная оценка и анализ политики, 12 (3), 311–329.

    Артикул Google ученый

  • Куни Т. (1985). Взгляд начинающего учителя на решение проблем. Журнал исследований в области математического образования, 16 (5), 324–336.

    Артикул Google ученый

  • Элиа, И., Панаура, А., Гагацис, А., Граввани, К., и Спайро, П. (2008). Изучение различных аспектов понимания функции: к четырехгранной модели. Канадский журнал науки, математики и технического образования, 8 (1), 49–69.

    Артикул Google ученый

  • Энфилд, Н. Дж., Кита, С., и де Руйтер, Дж. П. (2007). Первичные и вторичные прагматические функции указательных жестов. Прагматический журнал, 39 (10), 1722–1741.

    Артикул Google ученый

  • Фан, Л., и Чжу, Ю. (2007). От конвергенции к расхождению: развитие решения математических задач в исследованиях, учебных программах и аудиторной практике в Сингапуре. ZDM, 39 (5), 491–501.

    Артикул Google ученый

  • Fuchs, L., Fuchs, D., Stuebing, K., Fletcher, J., Hamlett, C., & Lambert, W. (2008). Решение проблем и вычислительные навыки: являются ли они общими или отдельными аспектами математического познания? Журнал педагогической психологии, 100 (1), 30–47.

    Артикул Google ученый

  • Гус М., Гэлбрейт П. и Реншоу П. (2000). Денежная проблема: источник понимания действий по решению проблемы. Международный журнал преподавания и обучения математике.Проверено 8 мая 2013 г. из . http://www.cimt.plymouth.ac.uk/journal/pgmoney.pdf

  • Грант, Н. (2000). Задачи сравнительного образования в новом тысячелетии. Сравнительное образование, 36 (3), 309–317.

    Артикул Google ученый

  • Хандал, Б., & Херрингтон, А. (2003). Убеждения учителей математики и реформа учебных программ. Научно-исследовательский журнал математического образования, 15 (1), 59–69.

    Артикул Google ученый

  • Haylock, D., & Cockburn, A. (2008). Понимание математики для детей раннего возраста . Лондон: МУДРЕЦ.

    Google ученый

  • Hensberry, K., & Jacobbe, T. (2012).Влияние эвристики Пойи и ведения дневника на решение детских проблем. Научно-исследовательский журнал математического образования, 24 (1), 59–85.

    Артикул Google ученый

  • Дженнингс, С., & Данн, Р. (1996). Критическая оценка национальной учебной программы по сравнению с французским опытом. Преподавание математики и ее приложений, 15 (2), 49–55.

    Артикул Google ученый

  • Джитендра, А.(2002). Обучение студентов решению математических задач с помощью графических изображений. Обучение одаренных детей, 34 (4), 34–38.

    Google ученый

  • Джитендра А., Гриффин К., Дитлайн-Бухман А. и Счесняк Э. (2007). Решение математических задач в третьем классе. Journal of Educational Research., 100 (5), 283–302.

    Артикул Google ученый

  • Jungheim, N.О. (2006). Взгляды учащихся и носителей языка на жест отказа в японской культуре. Международный обзор прикладной лингвистики в преподавании языков, 44 (2), 125–143.

    Артикул Google ученый

  • Кайзер, Г. (2002). Философия образования и их влияние на математическое образование — этнографическое исследование в английских и немецких классах математики. ZDM, 34 (6), 241–257.

    Google ученый

  • Келли, К. (2006). Использование манипуляторов в решении математических задач: анализ на основе производительности. Энтузиаст математики из Монтаны, 3 (2), 184–193.

    Google ученый

  • Квале, С., и Бринкманн, С. (2009). InterViews: обучение искусству качественного исследования с помощью интервью . Лондон: SAGE Publications.

    Google ученый

  • Лам Т.(2006). Групповое решение проблем среди учителей: пример того, как улучшить преподавание коллег. Социальная психология образования, 9 , 273–299.

    Артикул Google ученый

  • Лейкин, Р., и Кавасс, С. (2005). Планирование обучения незнакомой математической задаче: роль опыта учителей в решении проблемы и наблюдение за ее решением учениками. Журнал математического поведения, 24 (3–4), 253–274.

    Артикул Google ученый

  • Лестер, Ф. (1994). Размышления об исследовании решения математических задач: 1970–1994. Журнал исследований в области математического образования, 25 (6), 660–675.

    Артикул Google ученый

  • Леунг, Ф. (1995). Класс математики в Пекине, Гонконге и Лондоне. Образовательные исследования по математике, 29 (4), 297–325.

    Артикул Google ученый

  • Мейсон, Дж. (2004). Правдоподобны ли убеждения? Обзор Leder, G., Pehkonen, E. & Törner, G. (Eds.) 2002, Убеждения: скрытая переменная в математическом образовании ?, Kluwer, Dordrecht. Математическое мышление и обучение, 6 (3), 343–352.

  • Мейсон, Дж., Бертон, Л., и Стейси, К. (1982). Математическое мышление . Лондон: Аддисон-Уэсли.

    Google ученый

  • Металлиду П. (2009). Метакогнитивные знания учителей до начала работы и на рабочем месте о стратегиях решения проблем. Преподавание и педагогическое образование, 25 (1), 76–82.

    Артикул Google ученый

  • NCTM.(2000). Принципы и стандарты школьной математики . Рестон: NCTM.

    Google ученый

  • Нешер, П., & Гершковиц, С. (1994). Роль схем в двухэтапных задачах: анализ и результаты исследований. Образовательные исследования по математике, 26 (1), 1–23.

    Артикул Google ученый

  • Нешер, П., Гершковиц, С., & Новотна, Дж.(2003). Модель ситуации, текстовая база и что еще? Факторы, влияющие на решение проблемы. Образовательные исследования по математике, 52 (2), 151–176.

    Артикул Google ученый

  • Нунокава, К. (2005). Решение математических задач и изучение математики: чего мы ожидаем от студентов. Журнал математического поведения, 24 (3–4), 325–340.

    Артикул Google ученый

  • Нюстрём, Х.(2000). Постмодернистский вызов — от экономического к творческому менеджменту. Управление творчеством и инновациями, 9 (2), 109–114.

    Артикул Google ученый

  • Пахарес, М. Ф. (1992). Убеждения учителей и образовательные исследования: Очистка запутанной конструкции. Обзор исследований в области образования, 62 (3), 307–332.

    Артикул Google ученый

  • Палм, Т.(2008). Влияние аутентичности на смысл решения словесных проблем. Образовательные исследования по математике, 67 (1), 37–58.

    Артикул Google ученый

  • Филиппу, Г., и Кристу, К. (1999). Модель на основе схемы для обучения решению проблем. В О. Заславского (ред.), Труды 23-й Международной конференции по психологии математического образования (том 4, стр. 57–64). Хайфа: Израильский технологический институт.

    Google ученый

  • Полиа, Г. (1945). Как решить: Новый аспект математики . Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.

    Google ученый

  • Роуленд, Т. (2003). Математика как человеческая деятельность: другая проблема рукопожатий. Педагог математики, 7 (2), 55–70.

    Google ученый

  • Шенфельд, А.(1985). Решение математических задач . Нью-Йорк: Academic Press.

    Google ученый

  • Шонфельд А. (1992). Обучение математическому мышлению: решение проблем, метапознание и осмысление математики. В D. Grouws (Ed.), Справочник по исследованиям в области преподавания и обучения математике (стр. 334–370). Нью-Йорк: Макмиллан.

    Google ученый

  • Smidt, S., & Weiser, W. (1995). Семантические структуры одноэтапных задач со словами, включающих умножение или деление. Образовательные исследования по математике, 28 (1), 55–72.

    Артикул Google ученый

  • Штейн, М., & Кауфман, Дж. (2010). Выбор и поддержка масштабного использования учебных программ по математике. Американский журнал исследований в области образования, 47 (3), 663–693.

    Артикул Google ученый

  • Свеллер, Дж., Кларк, Р., и Киршнер, П. (2010). Обучение общим навыкам решения проблем не заменяет и не является эффективным дополнением к обучению математике. Уведомления Американского математического общества, 57 (10), 1303–1304.

    Google ученый

  • Таплин, М., и Чан, К. (2001). Развитие специалистов по решению проблем. Журнал педагогики математики, 4 (4), 285–304.

    Артикул Google ученый

  • Томпсон, А. (1985).Представления учителей о математике и обучении решению проблем. В Э. Сильвере (ред.), Преподавание и обучение решению математических задач: несколько перспективных исследований (стр. 281–294). Хиллсдейл: Лоуренс Эрлбаум.

    Google ученый

  • Треш, Дж. (2001). По идее родной: Томас Кун и антропологический метод. Философия социальных наук, 31 (3), 302–322.

    Артикул Google ученый

  • Verschaffel, L., De Corte, E., & Vierstraete, H. (1999a). Трудности учащихся старших классов в моделировании и решении нестандартных аддитивных словесных задач с порядковыми числами. Журнал исследований в области математического образования, 30 (3), 265–285.

    Артикул Google ученый

  • Verschaffel, L., De Corte, E., Lasure, S., Van Vaerenbergh, G., Bogaerts, H., & Ratinckx, E. (1999b). Учимся решать прикладные математические задачи: эксперимент с пятиклассниками. Математическое мышление и обучение, 1 (3), 195–229.

    Артикул Google ученый

  • Wong, N.-Y., Lam, C.–.К., Сан, X., и Чан, A. (2009). От «изучения средней зоны» до «построения моста»: эксперименты по спиральной программе математики bianshi . Международный журнал естественно-научного и математического образования, 7 (2), 363–382.

    Артикул Google ученый

  • Xenofontos, C., & Andrews, P. (2012). Убеждения будущих учителей о решении проблем: кипрские и английские культурные конструкции. Исследования в области математического образования, 14 (1), 49–65.

    Артикул Google ученый

  • (PDF) Анализ трудностей учащихся начальной школы при решении математических задач

    3170 Prathana Phonapichat et al. / Процедуры — Социальные и поведенческие науки 116 (2014) 3169 — 3174

    повседневных жизненных проблем. Следовательно, можно сказать, что математика — это инструмент для обучения студентов умению решать задачи,

    и выстраивать мыслительные процессы, ведущие к дальнейшей способности решать нематематические задачи.

    В Таиланде результаты национального экзамена на успеваемость по математике

    учащихся общенационального шестого класса в период с 2007 по 2009 год показывают, что большинство учащихся находятся на уровне, необходимом для повышения квалификации (NIETS, 2012). Анализ

    экзамена O-NET для учащихся 6 класса показывает, что математические задачи на экзамене

    состоят как из символьных, так и из длинных текстовых задач. Согласно результатам, большинство учащихся

    испытывают трудности с применением своих математических знаний при решении задач, особенно в задачах на основе текста, которые требуют навыков понимания текста

    в дополнение к процессам математического мышления.

    Многие ученые изучали понимание математических задач.Брукнер и Гроссникл (1947), Зуйдам

    ,

    , Уивер (1977) и Уэст (1977) изучали трудности, влияющие на решение математических задач. Самым большим препятствием для

    является отсутствие навыков чтения, вычислений и математики. Когда студенты не могут понять, что подразумевает текст

    , они не могут начать мыслительный процесс для решения проблемы. Студенты знают только ограниченные ключевые слова или

    технических терминов. Их не интересуют математические проблемы из-за длины и сложности задач. Некоторые исследователи задач

    также изучали взаимосвязь между пониманием прочитанного и успеваемостью по математике,

    , например, Helwig et al. (1999), Fuchs et al. (2000). Изучение показателей, влияющих на изучение математики, показывает, что ключевым фактором

    является чтение. (Lamb, 2010; Jiban & Deno, 2007)

    Из всего вышесказанного, понимание прочитанного, вычислительные и математические навыки являются ключевыми факторами для

    решения математических задач. Для решения математической задачи учащимся необходимы навыки чтения, особенно понимание прочитанного и анализ текста

    .Таким образом, исследователь заинтересован в проведении исследования трудностей

    в решении математических задач среди учащихся начальной школы, которое должно стать руководством для учителей и связанных

    человек для создания надлежащего метода преподавания математики, подходящего для учащихся. Это приведет к дальнейшему развитию

    инструментов, используемых для анализа трудностей решения математических задач учащимися.

    1.1. Вопрос исследования

    Какие трудности возникают у учеников начальной школы при решении математических задач?

    1.2. Цель исследования

    Проанализировать трудности, возникающие у младших школьников при решении математических задач.

    2. Решение математических задач

    2.1. Определение математической задачи

    В этом разделе будет представлено определение «математической проблемы», которое несколько преподавателей математики

    уже пытались определить следующим образом.

    Андерсон и Пингри (1973) предполагают, что математическая проблема — это ситуация или вопрос, на которые требуется ответ

    в форме количественного или числового ответа.Чтобы решить данную проблему, вам необходимо найти метод

    , подходящий для конкретной ситуации, используя знания и опыт.

    Адам и др. (1977) предполагают, что математическая проблема может быть определена как проблема со словом, проблема с историей или вербальная проблема

    . Это описание ситуации словами или цифрами, требующее количественного или числового ответа

    . Вы должны найти способ решить эту проблему.

    Cruikshank & Sheffield (1992) предполагают, что математическая проблема — это вопрос, связанный с математикой или ситуация

    , но не только связанная с цифрами.Возможно, что некоторые математические задачи связаны с физическими

    свойствами или логическими рассуждениями, которые вообще не относятся к числам.

    Следовательно, математическая проблема в этом исследовании означает связанный с математикой вопрос или ситуацию, которая сильно различается.

    . Это реальная ситуация, наблюдаемая в реальной жизни, которая требует надлежащего метода и математических знаний для решения

    .

    Что мы имеем в виду, когда говорим «обучение через решение задач» в классах математики | Мэтью Олдридж

    На протяжении более 30 лет с реформами NCTM мы говорили о «обучении через решение проблем», а не об обучении * решению * проблем. Но что мы имеем в виду? Я не уверен, что понятие «обучение через решение проблем» четко определено.

    Мы, в широком смысле, конструктивисты, учителя, должны ответить на вопрос, насколько дети будут достаточно хорошо разбираться в математике, чтобы хорошо разбираться в математике в классах по решению задач, но это тема для другого поста.

    Вот как было раньше. Где-то на пыльной полке у вас может быть старый переплет, полный проблем. Это связующее может быть организовано с помощью стратегий решения проблем, таких как: работа в обратном направлении; решить более простую задачу; или составьте таблицу или диаграмму.Решение проблем — это не то, чему можно так научить. Такой подход можно охарактеризовать как «обучение решению проблем» или «обучение тому, как решать проблемы». Школьная математика, которую мы представляем, более обширна и использует задачи в качестве основы для изучения математических идей учебной программы, развития навыков и понимания, а также формирует более гибких и способных математических мыслителей.

    В детстве, возможно, вам нужно было решать «проблему недели», возможно, по пятницам.Решение проблемы со словом было вашей наградой за четыре дня работы с рабочими листами и домашним заданием. Вы честно выделили ключевые слова и приступили к работе. Вы подошли к этой проблеме как к чему-то механическому и аккуратно резюмировали свою работу в одном предложении. Решение задач как событие или награда — это не то, что мы имеем в виду в школьной математике.

    Что мы имеем в виду, когда говорим «математические задачи»? Любое стоящее математическое задание или вопрос можно было считать проблемой. Проблема — это то, что заставляет студентов задуматься.Проблема — это не разовый вопрос. Проблема порождает больше вопросов, проблема порождает больше вопросов, пока искры не разожгут бушующий огонь. Математика заключается в том, чтобы задавать вопросы в такой же степени, как и в ответах на вопросы.

    Стоящие задачи по математике — это те, которые побуждают учащихся задуматься над большими и важными математическими идеями. Стоящие задачи по математике — это те, которые побуждают учащихся думать о математике, которая является интересной, полезной или красивой. Они могут быть или не быть «реальным миром».Иногда математический мир бывает достаточно интересным. Это мир мысли, или визуализации, и представления, а затем воплощение этих представлений в жизнь посредством речи и на бумаге.

    Наши студенты чувствительны к псевдоконтексту, как и должно быть. Проблемы с пиццей или печеньем возникают слишком часто, а зачастую и недостаточно. Хотя вы можете достаточно легко заставить студентов думать о разделении как о справедливом распределении, поставив задачу с файлами cookie, вы, вероятно, также можете активизировать их размышления об этой же идее более интересным способом.Иногда мы, учителя математики, относимся к нашему предмету, как родители к лекарству от кашля: это то, что сильно ухудшается, но необходимо для нашего здоровья. Так быть не должно. Точно так же мы не говорим о бессмысленном подслащивании или смягчении нашего предмета. В математическом мире интересно жить и жить. Нашим ученикам нужно показать, что это тоже наш мир.

    Рассмотрим следующее определение «решения проблем»:

    «Термин« решение проблем »относится к математическим задачам, которые могут создавать интеллектуальные задачи для улучшения математического понимания и развития учащихся.”

    Cai, J. & Lester, M., 2010

    Вам нравится это определение? Содержит ли он в себе, что для вас значит решение проблем?

    Как насчет этой идеи:

    «под« проблемами »в математике мы понимаем математические задачи, которые являются проблемными».

    Wieman / Arbaugh

    Конечно, но многие вещи в мире «проблематичны», например, поведение знаменитостей и политиков. Проблемы являются «проблематичными»? Определение, которое, возможно, вызывает вопрос: что является «проблемным»?

    Обучение через подход к решению проблем означает использование проблем, вопросов или задач, которые являются интеллектуально сложными и стимулируют математическое мышление через математическое содержание и математические процессы у наших учеников.

    «Важно понимать, что математику нужно обучать через решение задач. То есть задачи или действия, основанные на проблемах, являются средством разработки желаемой учебной программы. Обучение — это результат процесса решения проблем ».

    Ван де Валле, 2007

    Мощные слова покойного г-на ван де Валле. Работа над проблемами позволяет нам получить доступ к содержанию, учебной программе, идеям, концепциям и навыкам, над которыми мы работаем.

    Итак, предварительное определение обучения через решение проблем:

    Обучение через решение проблем — это учебный подход, который начинается с проблемы, которую нужно решить.

    Педагогические шаги, которые вы делаете, то, как вы объясняете концепции, как вы продолжаете этот урок, и какая практика вы даете: эта часть зависит от вас. Это искусство и практика преподавания.

    Почему математические словесные задачи ТАК трудны для детей начальной школы?

    Вы здесь: Главная → Статьи → Задачи со словом

    Большинство детей любят рассказы и даже задачи и головоломки. Так почему же им так трудно решать математические задачи со словами? Я чувствую, что ответ кроется в ВИДАХ словесных задач, которые они решают в самые первые годы школы (1-4 классы).

    Эти трудности не начинаются в 1-м классе с таких простых задач, как: На озере пять уток и три на берегу. Сколько всего уток? Часто к учебнику по математике прилагается красивая картинка. Вместо этого, как правило, начиная с 3-го класса многие ученики не могут применять математику даже в самых простых ситуациях, описанных словами.

    Я чувствую, что все сводится к этому «рецепту» , используемому в МНОЖЕСТВЕННЫХ УРОКАХ математики:

    УРОК X

    Пояснения и примеры.
    Числовые упражнения.
    Несколько проблем со словами.

    Обратите внимание на следующие характеристики:

    • Задачи со словами обычно находятся в конце урока. Таким образом, если нет времени, они пропускаются. К тому же, поскольку они помещаются последними в уроке, похоже, что они наименее важная часть … верно?
    • Очень важно: вы когда-нибудь замечали … Если урок посвящен теме X, то слова «проблемы» относятся и к теме X!

      Например, если тема урока — длинное деление, то проблемы со словами в уроке, скорее всего, будут решены с помощью длинного деления.

    • Другая общая характеристика состоит в том, что часто в словарных задачах есть только ДВА числа . Другими словами, это одноэтапные проблемы. (Одноэтапные задачи преобладают в некоторых учебных программах вплоть до 7-го класса!) Таким образом, даже если вы не поняли ни слова в слове «проблема», вы можете решить ее. Просто попробуйте: допустим, на уроке длинного деления обнаружена следующая выдуманная задача. Вы можете решить это?

      La tienda tiene 873 sábanas en 9 colores Diferentes.Hay la misma cantidad en cada color. ¿Cuántas sábanas de cada color tiene la tienda?

    Я думаю, что с годами, когда дети подвергаются таким урокам снова и снова, они как бы понимают, что даже не читать внимательно задачу психологически менее требовательно. Зачем беспокоиться? Просто возьмите два числа и разделите (или умножьте, или сложите, или вычтите) и все.

    Я не говорю, что такие словесные задачи не нужны в конце уроков по разделению.Я уверен, что у них есть свое место. Но эти простые рутинные задачи заставят учащихся усвоить невысказанное «правило» :

    «Задачи со словами, найденные в учебниках по математике, решаются с помощью некоторой процедуры или правила, которое вы найдете в начале этого конкретного урока ».

    Еще одна трудность заключается в том, что учащиеся склонны думать линейно, , шаг за шагом, и пытаться сопоставить числа и текст в одном и том же порядке. Например, у Джейн было 25 ручек, а она отдала 15.Сколько у нее сейчас? Ответ: 25–15. Тогда, если слово «проблема» не соответствует пошаговому рецепту, они теряются. Например: «После того, как Джейн раздала несколько карт, у нее осталось 17 карт из 30. Сколько карт она отдала?» На этот раз ни один из этих расчетов не даст вам ответа: 17-30, 17 + 30 или 17 × 30.


    Что можно сделать?


    Анализ элементарных математических задач со словами

    Предложите учащимся анализировать текстовые задачи БЕЗ вычисления ответов, чтобы они думали и находили, какая операция необходима для решения каждой задачи.Вот список ситуаций, связанных с определенными операциями:

    • Итого делится на такое количество частей / контейнеров, каждая часть имеет одинаковое количество .

      Это ситуация умножения / деления:
      (количество частей) × (количество в каждой) = всего

      • Если вы знаете, сколько частей и количество в каждой, НЕСКОЛЬКО.
      • Если вы знаете сумму и количество частей, РАЗДЕЛИТЬ.
      • Если вы знаете общую сумму и сумму в каждом, РАЗДЕЛИТЕ.

    • Итог разделен на неравные группы.

      Это ситуация сложения / вычитания:
      (сумма в группе 1) + (сумма в группе 2) + (сумма в группе 3) + т. д. = итого.

      • Если вы знаете суммы в группах, но не общую сумму, ДОБАВИТЬ.
      • Если вы знаете общую сумму и суммы во всех группах, кроме одной, ВЫЧИТАЙТЕ. Это противоположно сложению. Вот несколько примеров проблем со словами:

        Из 187 изображений 45 черно-белые.Сколько было цветных картинок?

        Тыкв было 57, из них 15 спелых. Сколько еще не созрели?

        Обратите внимание, что в таких ситуациях НИЧЕГО не уходит и не забирается. На самом деле это , плюс ситуаций:

        цветных изображения + черно-белые изображения = все изображения

        спелых тыквы + незрелые тыквы = все тыквы

        Тем не менее, они решаются путем вычитания .


    • Что-то уходит или забирают. Это классическая ситуация вычитания.
      У Дженни было 14,56 доллара, и она купила куклу за 2,55 доллара. Сколько денег осталось?
    • «Сколько еще» ситуаций (= разница) решается вычитанием. Обратите внимание, что еще раз ничего не «забирают» и не уходят.
      У Джо 24 марки, а у Билла 13. Сколько еще у Джо? .

    Вышеупомянутые ситуации охватывают основы того, как четыре операции используются в задачах со словом, что охватывает большинство типов задач со словом, используемых в 1–4 классах.



    См. Также:

    Список веб-сайтов, посвященных проблемам со словами и решению проблем

    Что можно и чего нельзя делать при обучении решению задач по математике


    Математика как комплексное решение задач —

    Математики всегда понимали, что решение проблем является центральным элементом их дисциплины, потому что без проблемы нет математики.Решение задач играет центральную роль в мышлении теоретиков образования с момента публикации книги Полиа «Как решить эту задачу» в 1945 году. Национальный совет учителей математики (NCTM) последовательно выступает за решение проблем для почти 40 лет, в то время как международные тенденции в преподавании математики показали повышенное внимание к решению проблем и математическому моделированию, начиная с начала 1990-х годов. По мере того, как преподаватели во всем мире все больше осознавали, что предоставление опыта решения проблем имеет решающее значение для того, чтобы учащиеся могли использовать и применять математические знания осмысленным образом (Wu and Zhang 2006), мало что изменилось на школьном уровне в США.

    В 2011 году Общие основные государственные стандарты включили Стандарты процессов NCTM решения проблем, обоснования и доказательства, коммуникации, представления и связей в Стандарты математической практики. Для многих учителей математики это был первый случай, когда от них ожидали, что совместная работа и беседа учащихся будут включены в решение задач. Эта практика требует обучения совершенно разными способами, поскольку школы перешли от ориентированного на учителя подхода к более диалогическому подходу к преподаванию и обучению.Задача учителей состоит в том, чтобы научить учеников не только решать задачи, но и изучать математику посредством решения задач. Хотя многие студенты могут развить беглость процедур, им часто не хватает глубокого концептуального понимания, необходимого для решения новых задач или установления связи между математическими идеями.

    Учимся решать проблемы

    Чтобы понять, как ученики решают задачи, нам нужно взглянуть на теории, лежащие в основе обучения математике. К ним относятся признание развивающих аспектов обучения и тот важный факт, что учащиеся активно участвуют в изучении математики посредством «действия, разговора, размышления, обсуждения, наблюдения, исследования, слушания и рассуждения» (Копли, 2000, стр.29). Концепция совместного построения обучения является основой теории. Более того, мы знаем, что каждый ученик находится на своем уникальном пути развития.

    Дети приходят в школу с интуитивным математическим пониманием. Учитель должен установить связь с этим пониманием и использовать его на опыте, который позволяет ученикам изучать математику и обмениваться своими идеями в конструктивном диалоге с учителем и их сверстниками.

    Обучение происходит в социальных условиях (Выготский, 1978).Учащиеся формируют понимание, решая проблемы и взаимодействуя с другими в ходе этих занятий. Благодаря этому социальному взаимодействию учащиеся чувствуют, что они могут рисковать, пробовать новые стратегии, а также давать и получать обратную связь. Они учатся сообща, разделяя различные точки зрения или обсуждая способы решения проблемы. Именно через обсуждение проблем и обсуждение своих идей дети конструируют знания и приобретают язык, позволяющий осмыслить переживания.

    Учащиеся приобретают понимание математики и развивают навыки решения проблем в результате решения задач, а не непосредственного обучения чему-либо (Hiebert1997).Роль учителя состоит в том, чтобы создавать проблемы и представлять ситуации, которые служат форумом для решения проблем.

    Почему важно решать проблемы?

    Наши студенты живут в обществе, основанном на информации и технологиях, где им необходимо уметь критически относиться к сложным вопросам, а также «анализировать и логически мыслить о новых ситуациях, разрабатывать неопределенные процедуры решения и ясно и убедительно сообщать свое решение другим» (Баруди, 1998). Математическое образование важно не только из-за того, что математика играет «роль вратаря в доступе учащихся к образовательным и экономическим возможностям», но и потому, что процессы решения проблем и овладение стратегиями решения проблем позволяют учащимся жить вне школы (Кобб , & Ходж, 2002).

    Важность решения задач в обучении математике проистекает из убеждения, что математика — это прежде всего рассуждение, а не запоминание. Решение проблем позволяет учащимся развить понимание и объяснить процессы, используемые для нахождения решений, а не запоминать и применять набор процедур. Именно через решение задач учащиеся развивают более глубокое понимание математических концепций, становятся более вовлеченными и осознают актуальность и полезность математики (Wu and Zhang 2006).Решение задач по математике способствует развитию:

    • Способность мыслить творчески, критически и логически
    • Способность структурировать и организовывать
    • Возможность обработки информации
    • Удовольствие от интеллектуального вызова
    • Навыки решения проблем, которые помогают им исследовать и понимать мир

    Решение проблем должно лежать в основе всех аспектов преподавания математики, чтобы студенты могли ощутить силу математики в окружающем их мире.Этот метод позволяет учащимся рассматривать решение проблем как средство построения, оценки и уточнения своих математических теорий и теорий других людей.

    Приложение для структурного постижения контекстных задач математики для воспитанников детских садов | Исследования и практика в области технологий расширенного обучения

    Процесс разработки

    Команда разработчиков состояла из четырех человек. Все участники повлияли на дизайн приложения. Один из членов команды отвечал за программирование, проектирование экранов и создание графики.Один из членов команды имел многолетний опыт работы учителем начальной школы. Учитывая его понимание того, как обращаться с детьми и обучать математике, он смог указать на различные недостатки в приложении. У него также был опыт работы с Monsakun в классе. Два других члена внесли свой вклад, помогая разработать мероприятия и предлагая возможные решения проблем, на которые указала команда.

    Разработка программного обеспечения включала в себя создание функций, тестирование и анализ текущего состояния программного обеспечения членами группы, а затем принятие решений об улучшениях, дополнениях и сокращениях.Таким образом, процесс разработки носил повторяющийся характер (Ларман и Басили, 2003). Команда собиралась на собрание и решала задачи, которые нужно было выполнить до следующего собрания. Временной интервал между встречами был определен на основании оценок застройщика. Этот процесс продолжался до тех пор, пока все четыре члена команды не были удовлетворены заявкой.

    В идеале построенные упражнения должны быть опробованы на детях в процессе их развития. Однако плотный график детских садов в Японии сделал это невозможным.Считается, что присутствие человека, имеющего опыт работы учителем начальной школы, смягчает эту проблему, но не устраняет ее. Использование изображений, похожих на японские учебники, в демонстрациях приложений и программного обеспечения с воспитателями детских садов также помогло решить эту проблему.

    Модель триплетной структуры

    Модель триплетной структуры связывает три количества одной арифметической операции (операнд, оперант и величины результата) с ролями контекстной истории с помощью трех количественных предложений.Это проиллюстрировано на рис. 1. Он обычно используется для описания арифметических контекстных задач, когда одна из величин неизвестна.

    Рис. 1

    Модель триплетной структуры. Схема, показывающая состав модели

    с триплетной структурой

    Эти количественные предложения можно разделить на два типа: независимые количественные и относительные количественные предложения. Независимые количественные предложения заявляют о существовании определенного количества объектов. Например, «есть два яблока.«Относительное количество предложений зависит от предыдущего существования определенного количества объектов. «Было съедено два яблока» — это пример относительного количества. Относительные количества работают с одной или несколькими независимыми величинами.

    Пример на рис. 1 содержит случай вычитания истории. Модель триплетной структуры называет этот тип истории историей убывания. Ниже приведен пример истории увеличения:

    1. 1

      Всего пять яблок (независимое количество).

    2. 2

      Привезено два яблока (относительное количество).

    3. 3

      Есть семь яблок (независимое количество).

    А для комбинированных историй:

    1. 1

      Есть три яблока (независимое количество).

    2. 2

      Есть два апельсина (независимое количество).

    3. 3

      В сумме получается пять яблок и апельсинов (относительное количество).

    Истории увеличения и уменьшения состоят из одной независимой величины в начале, одной относительной величины в середине и другой независимой величины в конце.Относительное количество показывает, насколько количество объекта изменилось (увеличилось или уменьшилось, в зависимости от истории), а независимые количества показывают количество объектов до и после изменения. Все три количества в истории увеличения и уменьшения должны относиться к одному и тому же объекту, в противном случае история недействительна (например, «есть два яблока, одно яблоко съедено, есть один банан»).

    Составные истории имеют немного другую структуру. В композиционных рассказах относительное количество идет в конце, а перед ним идут две независимые величины.Затем две независимые величины должны относиться к различным типам объектов, в то время как относительная величина описывает общее количество двух объектов вместе.

    В историях уменьшения и увеличения относительное количество привело к изменению количества определенного объекта. В случае композиции относительное количество обеспечивает числовое наблюдение ранее определенных количеств без изменения их значения. Различными объектами здесь могут быть «яблоки Джона» и «яблоки Мэри», а относительное количество — «яблоки Джона и Мэри, вместе взятые.

    Есть еще один тип рассказов, выходящий за рамки данной статьи, а именно сравнительный рассказ. Из-за характера этой истории нам было трудно показать это с помощью изображений, и мы решили не включать это в наш дизайн. Однако он может быть включен в будущие исследования после того, как будет найдено удовлетворительное представление. Более подробную информацию об этом и о модели триплетной структуры можно найти в работе Hirashima et al. (2014).

    Дизайн приложения

    Дизайн приложения должен обеспечивать взаимодействие с моделью триплетной структуры, не полагаясь на текст.Нашим решением было использование изображений и разговорного звука. Есть два типа картинок. Первый тип имеет прямоугольную форму и называется общей сюжетной картинкой. Этот тип показывает сразу всю проблему. Второй тип — это сюжетная картинка. Они маленькие и квадратные и представляют каждое предложение в модели триплетной структуры. Понимание взаимосвязи между общими изображениями рассказа и изображениями фрагментов рассказа похоже на понимание того, как проблема структурирована в модели тройной структуры.Дизайн изображений будет представлен ниже. В приложении мы также просим пользователей связать картинки с номерами. Это соединение дает им возможность соединить контекстные части проблемы с неконтекстными частями арифметического выражения. Этот тип связи соответствует концептуальному пониманию контекстных проблем, описанному в предыдущих разделах.

    Мы разделили действия приложения на уровни. Более подробно каждый уровень описан ниже.Уровень 3 имеет решающее значение для приложения. Он фокусируется на соединении сюжетных картинок с большими картинками. Для этого учащиеся должны уметь разделить большую картину на три маленькие части, каждая из которых связана со значимой величиной.

    Также стоит отметить 6 уровень, который связывает картинки с числами. Во-первых, мы просим учащихся соединить картинки с числами. Поскольку каждая маленькая картинка относится к одной величине, связать одну значимую величину с одним числом — не сложная задача.Однако позже приложение просит пользователей связать одну большую картинку с тремя числами. Поскольку пользователю не предоставляется никакой другой помощи, у него нет другого выбора, кроме как визуализировать три числа, относящиеся к общей картине. Это похоже на то, как написать арифметическое выражение данной проблемы, имея только картину проблемы. Учащиеся, которые могут хорошо выполнить эту задачу, должны уметь осмысленно связывать контекстные проблемы со своими арифметическими выражениями. Эти уровни будут объяснены ниже.

    Изображение и звуковой дизайн в связи с моделью триплетной структуры

    Два графических представления истории модели триплетной структуры можно увидеть на рис. 2. Каждое изображение также сопровождается звуком. Слева показана общая история, где одно изображение содержит всю информацию для описания истории. Справа показаны фрагменты рассказов, в которых три картинки соединены вместе, чтобы описать историю.

    Рис. 2

    Увеличьте общий рассказ и сюжетные части.Два изображения истории увеличения

    В то время как в модели у нас было бы «есть три яблока», а в звуке, сопровождающем картинку, у нас было бы «три яблока на полке». Мы описываем место, в котором находятся объекты, чтобы усилить связь между тем, что говорит звук, и тем, что показывает изображение. Сюжетные изображения бывают двух типов: независимые и относительные. Они соответствуют независимым и относительным величинам в модели триплетной структуры.Независимые картинки обычно состоят из неподвижных объектов. Относительные картинки обычно описывают действие, например, мальчик вставляет куда-то предметы или животное входит в какое-то место. Описывая действие или движение, мы можем передать ту же идею, что и относительные количества модели триплетной структуры. Мы можем быть уверены в том, как дети интерпретируют картинки, потому что очень похожие рисунки используются в учебниках, используемых в японских школах.

    Общие сюжетные фотографии представляют всю проблему в одном кадре.В общей сюжетной картине на рис. 2 три номера проблемы можно увидеть как:

    1. 1

      Количество лейок на полке.

    2. 2

      Количество банок, которое мальчик ставит на полку.

    3. 3

      Общее количество банок после того, как мальчик поставит их на полку.

    Три числа отображаются на трехэтажных изображениях, создавая связь между общей картиной и сюжетными картинками. Звук, относящийся к общей картине, представляет собой простую комбинацию звуков трехэтажных частей, соединенных вместе. Хотя соединение общей истории с тремя картинками может показаться тривиальной задачей, это не так просто. В то время как первые два числа достаточно четко видны в общей сюжетной картине, третье число, которое представляет, сколько банок будет на полке, требует большего размышления.Учащиеся должны понять описанную историю, а затем признать, что после того, как мальчик закончит, на полке будут две лейки. Это число может быть вычислено путем подсчета или сложения в уме. Важно то, может ли ученик интерпретировать рассказ или нет. Поскольку не все количества явно показаны, для соединения общей сюжетной картины с трехэтажными картинками требуется больше, чем просто смотреть на фотографию и пытаться сопоставить объекты или пейзаж.

    Уровень 1

    На уровне 1 участники слушают аудио, описывающее изображение, а затем выбирают из трех изображений, какое изображение соответствует аудио. На этом уровне картинки представляют собой рассказы, а не общие сюжетные картинки. Это вводный этап для ознакомления с изображениями, из которых можно составить рассказ, и их соответствующим описанием.

    На рисунке 3 показан пример. В этом случае ученик услышит вслух одну из этих трех фраз:

    Фиг.3

    Пример проблемы 1-го уровня. Скриншот задачи 1-го уровня

    1. 1

      На полке две лейки.

    2. 2

      На полке одна лейка.

    3. 3

      Джон ставит лейку на полку.

    Затем ученику нужно будет прикоснуться к картинке, соответствующей услышанной фразе. Студент также может повторить звук, нажав кнопку звука.

    Уровень 2

    Уровень 2 фокусируется на соединении общих картинок рассказа с их устным повествованием, чтобы облегчить учащимся понимание содержания картинок. В отличие от картинок из рассказов, картинки на этом уровне имеют описание, состоящее из трех фраз, каждая из которых соответствует одной из величин, описанных в рассказе.

    Уровень 2 состоит из двух частей: уровня 2-1 и уровня 2-2.

    Уровень 2-1

    Этот уровень основан на истинных или ложных проблемах. Участники слышат устное повествование, и им показывают одну общую сюжетную картинку. Они должны решить, является ли изображение, описанное в повествовании, отображаемым изображением или нет, нажав «истинно» или «ложно».

    Уровень 2-2

    Вторая часть похожа на уровень 1, где участникам показывают три изображения и звук, и им нужно решить, какое изображение соответствует звуку.

    Уровень 3

    Уровень 3 фокусируется на соединении общих историй с изображениями их сюжетов, и он состоит из двух частей.

    Уровень 3-1

    В этой части у нас есть истинные или ложные проблемы, когда участникам показывают одну общую картину в целом и изображения из трех частей. Затем они должны решить, соответствуют ли трехэтажные изображения одной и той же истории, показанной на большой картинке, или нет, выбирая из истинных или ложных кнопок.

    Уровень 3-2

    В этой части участникам показывается общая картина-рассказ и несколько картинок-отрывков.Их просят использовать три изображения из частей рассказа, чтобы составить один рассказ. Выдуманный рассказ должен соответствовать тому же рассказу, который показан в общей сюжетной картинке. Рисунок 4 иллюстрирует эту установку. Участникам выдаются пять картинок. Так как только три изображения составляют рассказ, оставшиеся два изображения являются фиктивными. Добавлены фиктивные картинки, чтобы учащиеся могли больше подумать. Не все задачи уровня 3-2 имеют одинаковую сложность, количество пробелов варьируется, как описано ниже:

    Фиг.4

    Пример проблемы на уровне 3-2. Скриншот задачи уровня 3-2

    1. 1

      Один пробел: проблемы с 1 по 5. Имеется только одно пустое место. Два других поля заполняются автоматически. Игрок может переместить три из пяти карт.

    2. 2

      Две заготовки: Задачи 6 и 7.Два пустых места. Одно пространство заполняется автоматически. Игрок может переместить четыре из пяти карт.

    3. 3

      Три пробела: проблемы с 8 по 11. Пробелы не заполнены. Игрок может переместить все пять карт. Это увеличение сложности используется, чтобы облегчить участникам работу с уровнем 3 и построение истории из трех частей.Мы еще раз подчеркиваем, что это ключевой навык в контексте модели триплетной структуры.

    Уровень 4

    Уровень 4 требует, чтобы участники слушали повествование истории, а затем им поручается составить историю, используя фрагменты рассказа. Это похоже на вторую часть уровня 3. Разница в том, что на уровне 3 соответствие было с общей картиной истории, а на уровне 4 — с устным повествованием.Этот уровень состоит из восьми задач, первые три из которых проще, позволяя пользователям перемещать только три изображения из пяти. Остальные задачи позволяют пользователю перемещать все пять изображений.

    Уровень 5

    Уровень 5 показывает участникам общую картину истории и спрашивает, принадлежит ли эта история к определенному типу истории (типы «увеличение», «уменьшение» и «объединение»), при этом участник должен выбрать « правда или ложь.» Этот уровень относится к тому, насколько хорошо участник понимает концепции увеличения, уменьшения и объединения.Это также относится к тому, как участники понимают историю каждой картинки.

    Уровень 6

    На этом уровне участники соединяют числа с картинками. Он разделен на две части. В первой части ученикам предлагается связать числа с изображениями рассказа. Во второй части учащихся просят соединить три числа в одну общую картину-рассказ.

    Установка, которую можно увидеть на рис. 5. Как было сказано ранее, это проблема, которая требует глубокого понимания трех величин, которые можно интерпретировать из одного изображения.Пользователи, которые могут это сделать, должны уметь создавать ментальные модели, которые позволят им успешно решать проблемы.

    Рис. 5

    Пример задачи 6 уровня. Скриншот задачи 6 уровня

    В этом разделе представлен дизайн приложения, звуковое оформление, оформление изображений, а также поясняется каждый уровень приложения. Также обсуждалось, какие уровни важны для концептуального понимания контекстуальных проблем и почему они важны.

    Создание математики: пособие для учителя математических исследований

    Студенты несколько раз спрашивали меня: «Есть ли математика после исчисление? «У этих студентов сложилось впечатление, что мир математики является одновременно конечным и линейным (классическое исчисление алгебры последовательность).Они не подозревают о необычайном разнообразии математики. который либо основан на исчислении, либо не зависит от него. Они знают о путь, а не полный график, связанных предметов математики (см. Приложение). Их вопрос также предполагает, что математика — это законченная работа. Нет новых возможностей для достижения или открытия для них.

    В любой дисциплине важно помочь ученикам понять наше невежество.Они должны оценить круг вопросов, которые остаются открытыми и, самое главное, то, что бесчисленные интересные вопросы еще предстоит подумать. Такое понимание — приглашение присоединиться к обсуждение. Когда учителя представляют математику как заранее определенный набор фактов, которые необходимо передать, подразумевается, что студенты отдельно от тех, кто создал математику.

    Математические исследования будут процветать только тогда, когда учащиеся будут считать себя практикующие математики-любители, которые должны творить и работать по собственным вопросам.По самой своей природе исследования подразумевают серию вопросов и расследований. Создание Математические исследовательские проекты включают несколько начальных вопросов в виде а также расширения, чтобы установить эту точку. Хорошее исследование приводит к установление связей между соответствующими выводами. Без множественных результатов из связанных вопросов не может возникнуть такого более широкого анализа.

    Когда ученики начинают задавать свои собственные оригинальные математические вопросы и увидеть, как эти вопросы становятся предметом обсуждения, их восприятие предмета глубоко изменен.Когда они проводят время за работой по этим вопросам их владение опытом вызывает волнение и мотивация.

    Последующие обсуждения и упражнения помогут студентам расширить их репертуар постановки задач и поощрение привычки создавать новые проблемы. Однако постановка задачи требует большего, чем простая настройка. уже существующего вопроса. При структурированном коучинге студенты также будут развивать способность оценивать, насколько интересны и продуктивны их новые вопросы скорее всего будут.По мере того, как учащиеся становятся изощреннее, их проблемы перейдут от бесцельных вариаций к более ясным математическим цель (например, изучение связи между двумя разными областями интерес).

    СОЗДАВАЯ НОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ ИЗ СТАРЫЕ

    Каждая проблема — это возможное семя для новых проблем, возникающих в результате изменения, добавление или удаление одной или нескольких характеристик исходной проблемы.Например, последовательность Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…) создается путем добавления двух предыдущих терминов для получения следующего. Этот это детерминированный процесс: член n th устанавливается один раз выбираем первые два условия. Соотношение между подходами последовательных сроков золотая середина, по мере расширения последовательности. Каким образом мы можем изменить эту последовательность, и что происходит с соотношением в каждом случае? Например, мы можем изменить начальные числа, мы можем добавить более двух членов за раз, или мы может изменить операцию, применяемую на каждом шаге.Мы даже можем изменить правила при вычислении последовательности, например, давайте вычтем, если Подбрасывание монеты показывает орла и добавляет, если показывает решку. В 1960 году было обнаружено что отношение для такой случайной последовательности все равно будет приближаться определенное постоянное значение, но только в 1999 г. Дивакар Вишванатх действительно выяснил, что это за константа (см. Фибоначчи Случайно или Новое Обнаружена математическая константа).

    Большинство новых проблем вызвано либо старыми, как описано выше, либо или контекстами, которые направляют постановщика проблемы в определенном направлении. Столкнувшись со старым вопросом, мы можем попробовать множество изменений, которые приведут к к новым расследованиям. Возможностей настолько много, что постоянный ученик почти уверен, что найдет действительно оригинальный математический вопрос.

    Источником вдохновения может быть известный математический вопрос, головоломка или стратегическая игра, или даже обычный вопрос из учебника.Мы можем изменить условия этих исходных задач, чтобы получить интересные, открытые исследовательские программы. Например, классическая задача из учебника предполагает, что корова привязана к углу коровника длиной 12 метров и 8 метров широкий (см. рисунок 1). Длина троса составляет 14 метров. Возникает вопрос: сколько земли у коровы для выпаса? Несколько лет назад Сет, изучающий математику, пришел в мой класс взволнованно. описывая свои попытки переместить эту проблему в три измерения.Он представил себе «космическую корову», привязанную к углу парящего куба. Он поинтересовался объемом области, к которой эта корова имела доступ. Он думал об этой идее раньше в старшей школе, а теперь понял, что наконец-то у него были инструменты (интеграция, трехмерные графики и решение систем уравнений), чтобы решить эту проблему. Следующие две недели включали самая технически сложная работа, которую он выполнял за весь год.

    Рис. 1. Корова, привязанная к сараю (вид сверху)

    Сет не развивал большую теорию «коровьих» регионов. В этом отношении, его вопросы привели скорее к ценному решению проблем, чем к глубокому математические исследования. Однако он был удивлен и впечатлен степень, в которой изменение одной особенности исходной проблемы повлияло тривиальное упражнение превращается в сложное (так же, как введение случайности последовательность Фибоначчи создала проблему, на решение которой потребовались десятилетия).

    СПОСОБЫ ИЗМЕНИТЬ ПРОБЛЕМУ

    Особенно важно научить студентов создавать новые задачи из старых. ценно, если старые проблемы достаточно просты, чтобы дать множество новые, решаемые проблемы. Мало того, что класс будет практиковать искусство постановки задач, но ряд связанных проблем также поможет им развить навык распознавания, когда им нужно применить новые технические навыки к решению вопроса.В этом духе многие примеры Далее следуют дальнейшие вариации на тему коровы.

    Поделитесь проблемой коровы (или другой знакомой проблемой) со своим классом и попросите их определить все его числовые и геометрические аспекты. Затем спроси их, чтобы изменить одну из этих функций или изменить контекст (настройку) проблемы каким-либо образом (например, если корова станет птицей или червяк, ты бежишь в третье измерение!).Пусть они напишут их новую проблему. Наконец, попросите их нарисовать новую диаграмму ситуации и определите, какая дополнительная математика им может понадобиться решите исправленную проблему.

    Когда мы читаем и понимаем проблему, мы узнаем об условиях которые придают ему форму. Некоторые из этих условий указаны явно, а другие подразумеваются. Например, размеры коровника в коровнике излагаются проблемы; здесь подразумеваются три вещи: (1) размеры коровы следует игнорировать (т.е., мы имеем дело с «точечной коровой»), (2) нас интересует только двумерная область плоской поверхности вне сарая, и (3) привязь неэластичная.

    Ниже перечислены некоторые способы изменить проблему, чтобы создать новые проблемы. Однако вам не нужно полностью представлять этот список вашему классу, опубликованный список ссылок, расширяемый каждый раз, когда студенты узнают о создании новой проблемы техники в своей работе или в математике, которую они прочитали, будет служить как напоминание о стратегиях создания проблем.Есть как минимум семь основные способы решения проблемы:

    • Измените числа.
    • Измените геометрию.
    • Измените операцию.
    • Изменить исследуемые объекты.
    • Удалите условие или добавьте новые условия.
    • Удалить или добавить контекст.
    • Повторите процесс.

    Каждое из этих потенциальных изменений более подробно обсуждается ниже.

    Изменить номера

    • Это наиболее очевидный способ решить проблему. Дайте своим ученикам одну или несколько проблем и попросите их определить любые заявленные или подразумеваемые числа. Например, в задаче о корове помимо трех указанных числа, есть следующие неявные условия: 2 измерения пастбищ; 0 размеров коровы; 1 измерение привязь; углы сарая 90 °; и то, что там есть только 1 корова с 1 привязью, и что еще 0 животных, сараи, и Т. Д.Мы можем изменить любое из этих чисел. Мы также можем изменить длину и ширину сарая ( a и b с a b ) и длину троса ( t ), что потребует анализ случая, поскольку форма и количество регионов, составляющих площадь выпаса будет отличаться для т < a , a , b + b, и t > А + Б .В этом последнем случае геометрия становится намного сложнее.
    • Стратегические игры могут быть хорошим источником исследовательских проблем и часто имеют много изменяемых функций. Рассмотрим игру «100 или бюст» (Шилак, Chancellor, & Childs 2000):
      Два игрока по очереди бросают кубик. После каждого броска это игрок должен решить, прибавлять ли значение броска или десять раз значение броска на его или ее счет (e.г., а можно считать как 2 или как 20). После семи бросков человек с наивысшая сумма меньше или равная 100 — победитель. Оценка более 100 считается как 0.
      Опять же, попросите свой класс найти все указанные и предполагаемые числа в эта игра. Заявленные значения, которые могут быть изменены, включают количество игроков, целевой тотал (100), количество ходов, кратные результата кубика (1 или 10) и количества кубиков, выпавших за ход.Предполагаемые значения включают количество граней на кубике, значения на каждом лицо и даже вероятность появления каждого лица.
    • При рассмотрении численных изменений в проблеме много разных областей и представления могут оказаться интересными. Например, что, если мы ограничим домен какой-то переменной до целых чисел или расширить его до вещественных чисел? Что, если мы допустим отрицательные или рациональные числа? Что происходит в частности маленькие или большие значения? Что, если мы изменим базу (например,g., исследуйте делимость правила в базе 2 вместо базы 10)? Можем ли мы изменить конечное количество до бесконечного или от фиксированного количества до неограниченного (например, сейчас каждый игрок в «100 или перебор» может делать неограниченное количество ходов)? Что, если мы изменим значение с нуля на ненулевое (например, добавим ширину к трос в коровьей проблеме)?

    Изменить геометрию

    • Любая проблема с геометрической настройкой созрела для новых вариантов.В Самый простой способ постановки задачи — изменить форму участвует. Различные категории фигур, предполагающие возможные замены включают многоугольники и их количество сторон, правильные и нестандартные полигонов (Проблема коровы с разной длиной привязи проще с квадратный сарай?), выпуклые и невыпуклые фигуры (что, если сарай были звездой?), многоугольные фигуры в сравнении с криволинейными (Что, если бы корова были привязаны к силосу радиусом 10 метров?), а стропы против сегменты.Попробуйте более общую форму (но с начальным объект исследования, например, параллелограммы, а не прямоугольники) или более конкретные (посмотрите на подмножество возможностей, например, обычные твердые тела а не все многогранники).
    • Изменение размера может вызвать интересные проблемы и узоры. Что, если мы посмотрим на пирамиды, а не на треугольники или гиперкубы? а не квадраты? Что, если мы уменьшим масштаб нашей проблемы рассматривая поперечные сечения или проекции (например,г., тени) многомерного фигура? Что происходит, когда мы изучаем графы в координатных пространствах с три и более осей? Что, если бы наш вопрос не был о двумерном площадь, доступная для выпаса, но одномерная длина периметра пастбища (чтобы мы могли купить забор и освободить корову от привязи)?
    • Формы, которые мы изучаем, могут быть не единственной целью наших экспериментов.Структура пространства , в который встроена проблема также можно изменить (например, что, если земля, на которой пасется корова волнистый?). Мы можем перенести игры, сыгранные на квадратной сетке, в треугольную, шестиугольные, полурегулярные или другие мозаики. Мы можем перемещать проблемы между Евклидовы и неевклидовы настройки (путем изменения метрики). Непрерывный и дискретные пространства (например, решетка точек с целыми координатами) обычно требуют различных методов решения и предлагают противоположные выводы.Пространства также могут быть сделаны так, чтобы «обернуть» то, как видео аркадные игры часто так и есть (т.е. если вы выходите на краю, вы оказываетесь на противоположном). Эти пространства имеют ту же топологию, что и тор (который выглядит как поверхность пончика) и может иметь свойства, отличные от те из стандартного самолета. Например, в теореме о четырех цветах что можно раскрасить любую планарную карту, используя не более четырех цветов так что любые две соседние области будут иметь разные цвета.В отличие, мы можем рисовать карты на торах, которым требуется более четырех цветов, чтобы удовлетворить такое же состояние.
    • Мы можем добавить, удалить или изменить симметрию проблемы. Например, ни одна периодическая мозаика плоскости не имеет пятикратного вращения. симметрия. Убрав глобальное ограничение в этой задаче, Роджер Пенроуз смог создать апериодический мозаичный слой плоскости, имеющий локальную пятикратную симметрии.Его открытие привело к значительному прогрессу в области кристаллография.
    • Мы можем изменить расположение элементов в задаче. Точки могут быть внутри, на границе или за пределами фигуры. Например, корова могла быть привязана где-нибудь в коровнике и дверь могла быть открытой (или закрытой).

    Изменить операцию

    • Алгебраический: мы можем переключаться между сложением, вычитанием, умножением, деление, возведение в степень и корни.Мы также можем изменить порядок операции. Спросите у своего класса, как они могут изменить арифметику игра «100 или перебор»?
    • Геометрический: мы можем переключаться между масштабированием, перемещением, вращением и другие преобразования. Мы можем строить медианы, а не перпендикуляры. Мы можем разрезать пополам или n -секцию, а не пополам угол, сегмент, или площадь.
    • Аналитика: мы можем изменить задействованную функцию (например,g., сделайте его экспоненциальным а не линейный). Мы также можем переключаться между равенствами и неравенствами, между рекурсивными и явными формулами, а также между факторизованными и умноженными выражения.
    • Вероятностный: мы можем заменить случайное поведение предсказуемым. один (как указано выше для последовательности Фибоначчи). Например, пятиклассник Хуанчо изменил проблема точек, чтобы размер прыжка выбирался случайным образом для каждого шаг; сбор данных сразу стал более запутанной задачей.

    Изменить исследуемые объекты

    Вместо того, чтобы просто смотреть на действительные числа, мы можем рассматривать векторы, матрицы, или функции (например, многочлены) в качестве операндов. Например, элементарный школьники часто обнаруживают, что 2 + 2 = 2 * 2, но не найти других примеров (кроме, возможно, 0 и 0). Пока студенты исследуют эту проблему с нецелочисленной областью, они могут обнаружить рациональные и иррациональные пары чисел, которые работают.Могут возникнуть другие вопросы; например, что насчет матриц? Есть ли матрицы 2 x 2 что умножать и складывать, чтобы получить равные результаты? Да, и есть два примера. Какими свойствами обладают эти пары? Есть пары с все-целочисленные записи (кроме тривиальных)?

    Удалить условие или добавить новые условия

    • Что, если мы добавим привязи, а сарай выбросим? Что, если наш счет для «100 или бюст» были абсолютным значением разницы между наша сумма и 100 («100 или близко»)? Что, если мы должны объявить раньше мы бросаем, считать ли значение броска однократным или десятикратным?
    • Создание определения слова полуцентр (см. Создание Новые определения для создания новых проблем в определениях) возникла из-за ослабления условия для центра круга.Вместо быть точкой с сегментами равной длины с точками круга, полуцентр — точка с соединительными сегментами любой длины, лежащей в пределах фигуры. Это более свободный вариант «центра» привел к ряду новых вопросов.

    Удалить или добавить контекст

    • Если проблема связана с определенной настройкой, мы можем сделать ее абстрактной удалив любые нематематические детали.Например, когда мы начинаем изучение геометрии такси, изображение уличной сетки со зданиями в каждом квадрате приводит нас к принятию новой метрики (метод для определение расстояния). Можно двигаться только вбок или вверх-вниз, потому что здания блокируют любое движение по диагонали. Однако эти здания также ограничить нашу способность рассматривать все точки на плоскости; поэтому мы можем выбросьте исходную настройку, но сохраните метрику — горизонтально расстояние плюс вертикальное расстояние — вот что это вдохновило.Сейчас мы в состоянии рассмотреть, как выглядят фигуры, например круг такси, без беспокоиться о наличии зданий или других препятствий.
    • В качестве альтернативы мы можем добавить историю к абстрактной проблеме. Например, прямоугольник легко разрезать на четыре равных части, но когда этот прямоугольник превращается в торт и появляется четверо детей, каждый хотят получить свою справедливую долю, целое царство новой и сложной математики возникают проблемы (см. «Справедливое разделение» в COMAP [1996] и Formulas для справедливости).Точно так же определение площади области многоугольника легко, но определить, как покрыть эту область ковром фиксированной ширина сложна, и найти наиболее эффективный способ ее перекрыть с краской из кисти еще сложнее.
    • Вы можете превратить каждый метод постановки задачи в практическое занятие. Попросите учащихся наложить рассказ или контекст на абстрактную проблему. по их выбору (e.g., геометрическая конструкция или система уравнений они находят, просматривая учебник). Как только они создали свои контекст, они могут видеть, как это ограничивает или перенаправляет исходную проблему. Точно так же они могут удалить историю из проблемы и подумать о вариантах. (например, используя отрицательные числа), что параметр мог неявно обескуражен.

    Повторить процесс

    Итерация может привести к удивительному и красивому математические вопросы и результаты.Например, знаменитый 3 x + 1 гипотеза исследует судьбу последовательностей, генерируемых начиная с счетное число и многократно применяя функцию f ( n ) = (например, последовательность, начинающаяся с 15, продолжается с 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2 и 1). Хотя математики предполагают что каждое начальное значение в конечном итоге заканчивается на 1, нет никаких доказательств это требование (см. Задача 3x + 1 и ее обобщения).Мы можем повторить любой операции, такие как возведение числа в квадрат, разделение стороны пополам или поворот рисунок, чтобы получить все более сложные объекты или последовательности для изучения. Для получения дополнительной информации см. Итерация. в разделе «Инструменты математики».

    НОВЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СТАРЫХ ПРОБЛЕМ

    Хотя мы можем изменить многие черты проблемы, самое радикальное мы можем навязать, чтобы изменить цель проблемы. Математики имеют длинный список вопросов, на которые они обычно обращаются новые настройки; эти вопросы, обсуждаемые ниже, должны быть представлены начинающие исследователи.

    Какое минимальное или максимальное значение возможно?

    Оптимизация области, количества или количества шагов в задаче — обычное дело. Цель. Например, где по периметру сарая должен фермер привязать корову, чтобы увеличить площадь выпаса? Есть форма (кроме круга), для которого точка крепления несущественна (т. е. площадь всегда одинакова, а максимум равен минимуму)? Если мы можете увидеть все семь бросков в игре «100 или перебор», прежде чем принимать решение как считать каждый бросок, каков минимальный счет, для которого мы должны когда-нибудь придется селиться Если бы вы могли выбрать кратное, отличное от 10 и 1, какие два вы бы выбрали заранее (т.е., какие значения максимизируют вероятность хорошей оценки)? Иногда самый информативный вопрос позировать: «Каков набор объектов, которые одинаково хороши (т. е. что все производят одинаковую ценность)? «Понимание этих семей объектов может привести к оптимальному решению.

    Сколько. . . ?

    Многие вопросы связаны с комбинаторными линиями исследования: Сколько? решения есть? Сколько существует способов выполнить математическую задача? Эти вопросы также предполагают менее четко определенные, но открытые вопрос: сколько существует способов решить проблему? Одна проблема, которая часто возникает во время попыток перечислить возможности — это определение именно то, что считается.Разные определения дают разные итоги, так ясность относительно того, что именно отличает одно решение от другого важно (см. Определения).

    Какая обратная сторона этого вопроса?

    Чарльз Гротч (1999, стр. 2) определяет прямые проблемы как «те, в которых предоставлено достаточно информации . . . для проведения четко определенного стабильного процесса, ведущего к уникальному решение «. Напротив, обратная прямая задача может дать результат и ищите все возможные отправные точки, которые приведут к такому результату.Обратная задача также может означать начало и конец проблемы. и ищите процессы, которые могли бы связать их. Например, обратный проблемы коровы может быть такой: «Корова, прикрепленная к коровнику, может пасти участок м 200 кв. Какие меры приводят к такому результату? » «100 или перебор» может быть обратным: «У игрока 79 очков в конце. его или ее последнего поворота; какая комбинация валков может дать это результат? «Имя« инверсия »здесь относится к функциональной инверсии: акт отмены операции.Задачи, обратные прямым задачам часто бывают открытыми, так же как и обратные функции часто не сами простые функции (т.е.они не являются однозначными). Обратные задачи естественно приводят к вопросам «Сколько путей …».

    Какова процедура?

    Другими словами, можете ли вы найти алгоритм выполнения задачи (например, факторизация числа или многочлена)? Например, если корова может съесть шестидюймовую ширину полосы, какой самый эффективный маршрут она может пройти, чтобы поесть вся трава в пределах досягаемости? Комбинаторические задачи часто включают методы которые подсчитывают набор математических объектов, не перечисляя их.Это интересная задача — найти процедуру для перечисления всех объекты набора (см. Симплекс Заблокировать проект).

    Существует ли на самом деле объект, который мы описали?

    Ответ на этот вопрос не всегда однозначен. Например, математическая определение нечетных совершенных чисел ясно, но никто не знает, есть ли существовать. Вместо того чтобы искать решения, мы можем спросить: «Возможно ли сделать форму (номер, способ и т. д.) который . . . ? «

    Можем ли мы обобщить проблему?

    Как только мы решаем конкретную проблему, у нас возникает соблазн изучить все пространство связанных проблем, чтобы найти формулу или правило, объясняющее все они. Например, при всех проблемах с коровами точка крепления который максимизирует пастбищные угодья, всегда располагаются в вершине или всегда далеко от один? В какие игры в крестики-нолики играл на n на m доска, которой для победы нужно r подряд, должна быть выиграна первой игрок? Говоря более абстрактно, мы можем спросить, что происходит, когда мы меняем исследование. в отношения между числами в один на отношения между элемент поля или посмотрите не только на свойство сложения, но и на двоичное коммутативные операции в целом.

    Что является основным объяснением паттернов и структур, которые мы Сталкиваться?

    Каждое расследование должно включать эти вопросы «почему». Почему это закономерность появляется в этом случае? Почему возникают две разные ситуации те же результаты? Почему это изменение привело к такому изменению? Математики знать, что они, вероятно, упускают захватывающее открытие, если только знаю, что что-то есть, но не могу сказать , почему это так.

    ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

    Ваши ученики могут весело провести время, создавая задачи. Один способ дать им шанс попрактиковаться в этом навыке — скопировать календарь математики задачи из Учителя математики (NCTM) для вашего класса. Попросите каждого ученика выбрать одну задачу и превратить ее в как можно больше разных по возможности новые проблемы. Попросите их написать список из как можно большего количества явных и неявные условия проблемы, как они могут идентифицировать.Дай им время повторить этот процесс для множества задач. Поощряйте их выбирать задачи, связанные с различными областями математики (например, арифметика, геометрия, алгебра).

    Смысл создания новых задач — создать интересных проблемы. Обычно мы не знаем, насколько интересны наши вопросы, пока мы тратим время, пытаясь им ответить. Итак, как только ваши ученики сгенерировали их вариации, стоит дать им время изучить эти что им больше всего нравится.Чем больше времени студенты проводят, работая над своим собственных творений, тем богаче их инстинкты будут к изменениям, которые приводят к интересным исследовательским вопросам. Потраченное время также поможет им развивают свою собственную эстетику как математики, ставящие и решающие проблемы.

    Новые проблемы не всегда требуют творческих изменений, чтобы новые и интересные вопросы. Иногда изменение одного числа повышает неожиданные проблемы.Сентябрь 2000 г. Календарь для учителя математики включала следующую задачу:

    В классе математики мистера Эджкомба 30 учеников прошли экзамен по статистике. Если средний проходной балл был 84, средний проходной балл оценка была 60, а общее среднее значение было 80, сколько студентов сдали экзамен? (Ответ: сдано 25.)

    Один из наших второкурсников начал задаваться вопросом, были ли эти числа особенными.Поэтому она изменила размер класса до 17 человек. Затем она решила проблему при условии, что экзамен сдали x учащихся. Она знала, что общее количество баллов по 17 тестам составило 84 x + 60 (17 — x ) = 80 (17), Это означало, что x = 14,166 учащихся сдали экзамен. Поскольку это не было возможно иметь дробную часть ученика, она предположила, что исходные средние значения не были точными.Она пересчитала средний класс будет, если 14 студентов сдали экзамен, а 3 — нет; результат был (14 * 84 + 3 * 60) / 17 = 79,76, что округляется до 80! Теперь весь класс задавался вопросом: числа всегда позволяли разумное целое число студентов. Они также задал (но не ответил) на общий вопрос: «Если округление не всегда работает, какие наборы начальных чисел дают разумный ответ? »Этот эпизод — пример того, как простая отправная точка может дают сложные исследования.

    Многие задачи из учебников, подобные этой, имеют «хорошие» ответы. Эти упражнения предлагают обратную задачу: если мы хотим целочисленные ответы к задаче, как найти правильные начальные значения? Обобщая учебные задачи также могут быть плодотворными. Например, мы можем превратить рутину учет упражнений в исследовательских изысканиях. С помощью символического математический инструмент, такой как Mathematica, Maple или TI-89, факторинг x 2 — 1 и x 3 — 1 может стать вопросом о коэффициенты x n — 1.

    Другие источники, которые могут дать посевной материал для новых вопросов, включают простые игры, книги по развлекательной математике (особенно Мартина Гарднера), и журналы, такие как Quantum и The Mathematical Gazette. Эти материалы также познакомят студентов с рядом незнакомых темы математики.

    Интернет-источники проблем включают Quantum, журнал CyberTeasers, Проблемы математического форума Неделя и проблемы с точка.Первый CyberTeaser, на который я нажал (с января / февраля 2000) дал следующий вызов: «Может ли число, состоящее из 300 единицы и некоторое количество нулей быть идеальным квадратом? Поясните свой ответ.» В предложенном решении предполагается, что число находится в базе 10. Такое число делится на 3, но не на 9 (из-за суммы цифр) и поэтому никогда не будет идеальным квадратом, независимо от расположение цифр.Многие обобщения этой проблемы в терминах используемых цифр и оснований, сразу напрашиваются сами собой.

    Разъяснение вопроса

    Даже кажущиеся простыми изменения в проблеме могут привести к неопределенному ситуация. Приведенные ниже вопросы были созданы студентами, пытающимися изменить Connect настройку исследования точек (см. Использование Настройки исследования и подключение обучающие заметки Dots для соответствующих обсуждений).

    1. Как изменится узор, если мы соединим точки кривыми?
    2. Что делать, если точки расположены по кругу неравномерно? Как размещение точек влияет на форму соединяющих линий?
    3. Что, если точки лежат за пределами круга?
    4. Что делать, если в центре круга несколько точек?
    5. Что произойдет, если есть концентрические кольца с точками?
    6. Что, если мы воспользуемся трехмерной формой, такой как сфера или додекаэдр?
    7. Что, если круг полностью состоит из точек?

    Некоторые из этих вопросов дают возможность для интересных исследований, но ни один из них в своей первоначальной форме не описывает новую проблему однозначно.В вопросе 1 нам нужно знать тип, размер и ориентацию кривые. Вопрос 2 оставляет открытым вопрос о том, определяются ли прыжки. точками или абсолютным расстоянием. В вопросах с 3 по 5 и 7 не сказано, как мы должны включить эти дополнительные точки в правило для прыжков. Вопрос 6, который, возможно, предлагает двумерную сетку точек на поверхности твердого тела, также необходимо уточнить, как определяются и выполняются прыжки в этом новом нелинейном расположении точек.

    После того, как студенты предложили свои варианты, они должны самостоятельно попытайтесь нарисовать пример для каждого. Классы быстро обнаруживают, проблема ясна и интерпретируется единообразно. Как только это станет очевидно, что вопрос не ясен, первоначальные авторы могут попытаться переписать свою проблему. Некоторые проблемы со временем могут оказаться довольно стоит, в то время как класс может никогда не решить другие проблемы в достаточной степени вызвать большой интерес.Процесс экспертной оценки поможет студентам обнаруживают необходимость обдумывать последствия своих идей и ценить внимательное письмо.

    ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ПРОБЛЕМЫ

    Когда ваши студенты будут готовы работать над долгосрочным исследовательским проектом, им нужно будет решить, какие вопросы заслуживают наибольшего внимания. Они не смогут работать над всеми вопросами, которые они предлагают.Тем не мение, их следует поощрять к проведению небольшой последовательности связанных расследований которые опираются друг на друга, и они будут решать их по порядку. Конечно, по мере продвижения их исследований, поскольку они становятся более осведомленными о своих тема, и по мере появления новых вопросов их цели могут измениться.

    Чтобы программа исследований была хорошей, необходимо соответствие нескольким критериям:

    • Студенты должны иметь непосредственный интерес к проблеме; если не, усилия и понимание вряд ли материализуются.Разные вопросы и математические темы нравятся каждому из нас. Поощряйте своих студентов развивать свою собственную (надеюсь, непредвзятую) эстетику математики. Дайте им знать, что уместно быть привлеченным к одному типу настройки или другое, или предпочитать визуальные или абстрактные проблемы другим.
    • Студенты или группы должны знать достаточно математику, чтобы по крайней мере, некоторый прогресс в их исследовательских программах.
    • Студенты должны уметь четко излагать свои проблемы и вопросы.
    • Вопросы должны содержать проблемы, но не быть невозможными. В худший выбор для исследовательского проекта — это хорошо известная, нерешенная проблема. Когда студенты начинают говорить о гипотезе Гольдбаха или другая проблема, которая ставила математиков в тупик на протяжении многих лет, я призываю им начать свою исследовательскую карьеру с более продуктивной работы.Неразгаданная математика Проблемы и Geometry Junkyard предоставляет интересные списки проблем, за которые не стоит браться. Однако, хотя «невозможных» проблем следует избегать, вопросы студентов должен быть достаточно сложным, чтобы не было очевидного решения или безошибочный способ атаки.
    • Вы и ваши ученики должны оценить оригинальность своих вопросов. Хотя я исключаю нерешенные проблемы (с большой буквы), я рекомендую учащимся решать ранее не возникавшие проблемы, созданные ими самими.Такие задачи интересны двояко: они оригинальны для ученика, и никакого решения не таится в какой-нибудь книге или журнале. Новые проблемы делают не дают гарантии, что они дадут интересные результаты, но они обычно неплохо работают. То, что студент изучает неизведанная математическая территория добавляет азарта опыту.
      Часто студенты задают проблемы, которые им присущи, но не большему математическому сообществу.В таких случаях я прошу их избегать ранний поиск литературы, чтобы они могли достаточно глубокое понимание проблемы, прежде чем обнаруживать, что есть у других покончено с этим. К тому времени, когда они приступают к обзору литературы, они уже часто задавали дополнительные вопросы, которые решают ресурсы, с которыми они обращаются не адрес.
    • Исследование, которое обобщает исходную обстановку или становится более абстрактным в своей трактовке этого сеттинга, как правило, приносит больше удовлетворения, чем исследования которые остаются узконаправленными.Студентам следует начать с более конкретных и конкретные проблемы, но по мере их работы они должны стремиться решать пространство связанных проблем, а не одна. Ищет больше проблемы, которые включают исходную проблему, требуют творчества и поощрения студенты, чтобы установить связи между родственными идеями.
    • Практические соображения школьной жизни влияют на пригодность темы. Студент должен быть в состоянии достичь хотя бы некоторого среднего цели исследования во время, отведенное на проект.Проэкт должны также обещать расширения, которые могут легко прослужить дольше чем отведенное время. Любая техника, необходимая для эффективной работы на проблема должна быть доступна.

    Предложения по проектам

    Задайте студентам, которые разрабатывают свои собственные исследовательские вопросы (в отличие от к использованию проектов Making Mathematics) написать проектное предложение, которое вы должны одобрить, прежде чем они примут участие слишком много времени на их исследования.Предложение должно содержать следующее элементы:

    • Программа исследования студента с описанием проблемы и основные вопросы, на которые хочет ответить студент
    • Источник проблемы и почему она нравится студенту
    • Обзор литературы (при необходимости) ресурсов, которые предоставили полезные предыстория проблемы
    • Обсуждение первых шагов, которые студент планирует сделать (математический эквивалент экспериментального плана, который описывает переменные для будут изучены и данные, которые будут собраны)

    Студенты должны использовать следующие вопросы для оценки первого черновика своего проектного предложения:

    • Вы задали вопрос или просто определили интересующую вас область?
    • Насколько оригинален ваш вопрос?
    • Ваш вопрос значительный и актуальный? (Это всегда интересно вопрос для исследований по чистой математике.)
    • Является ли вопрос слишком широким или слишком конкретным, чтобы его можно было понять? исследование? Если да, то как можно усилить или расширить его фокус?
    • Можете ли вы определить типы доказательств, которые вам нужно будет собрать во время ваша работа и в какой форме будут ответы на ваши вопросы?
    • Есть ли у вас или можете ли вы приобрести необходимый технический опыт ответить на ваш вопрос?
    • Допускает ли ваш вопрос анализ помимо сбора данных?
    • Насколько реалистичен ваш вопрос для отведенного времени?
    • Будут ли доступны необходимые вам ресурсы? (Отвечая на эти последние четыре вопросы могут потребовать руководства учителя.)

    Придумывать хороший исследовательский вопрос — важная и трудная работа. Чем больше энергии студенты вкладывают в разработку хорошего вопроса, тем лучше их исследовательский опыт будет. Предоставьте ученикам время на занятия писать «педагогические» экспертные обзоры предложений друг друга по проектам, используя вышеуказанные вопросы. Эти обзоры помогут создать более сильную секунду. черновики, которые вы можете прокомментировать. Они также дают студентам более широкую аудиторию за их работу, заинтересовать класс вопросами друг друга, и обеспечить практику передачи технических идей в доступной уровень.

    ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАСТРОЕК ИССЛЕДОВАНИЯ

    Приведенные выше обсуждения показывают, что студенты могут создавать свои собственные исследования. вопросы, изменив старые вопросы. Настройки исследования — т.е. математические ситуации или объекты, которые не связаны с исходной постановкой проблемы — позволить учащимся сделать еще один шаг вперед и вдохновить им задавать оригинальные вопросы. Некоторые из моих любимых студенческих вопросов возникли в результате классовых исследований исследовательских установок.

    Соединение точек проект — это исследовательская установка, которая служит отличным вводным опыт для учащихся средних и старших классов. Если вы снимете проблемы со своими вопросами, предоставьте копии раздаточных материалов и объясните метод прыжков по кругу, рисунки и узоры, которые Emerge, естественно, вдохновит студентов задавать собственные вопросы. В следующие вопросы (среди десятков других!) поступили от одного пятого класса грейдеры:

    • Какие комбинации количества точек и размера прыжка образуют звезды?
    • Какие комбинации количества точек и размера прыжка приводят к квадратам?
    • Для каких номеров точек каждый размер прыжка попадает в каждую точку?
    • Сколько областей создают сегменты и круг? (Например, круг с 5 точками и размером прыжка 1 дает 6 областей.Такой же круг с размером прыжка 2 дает 11 областей.)
    • Что произойдет, если мы случайным образом выберем номер для каждого прыжка, начиная с от 1 до общего количества точек?

    Первый вопрос о звездах вызвал замечательную дискуссию о том, что каждый ученик имел в виду слово «звезда». Их замешательство заставило их напишите формальные определения форм, которые они хотели бы включить. Некоторые хотели любая фигура с пересекающимися сегментами будет звездой.Другой студент, потому что гипотезы, над которой она работала, определила звезду как фигуру, что сегменты, исходящие из данной точки, соединены с точками, которые были рядом друг с другом. Этот диалог естественным образом привел к обсуждению как писать четкие определения (см. Определения).

    Диапазон сложности вопросов позволяет каждому студенту начать работу на уровне, соответствующем его навыкам и опыту.Вопрос о квадратах для старшеклассников тривиален, но не для всех учеников начальной школы. Вопрос о количестве регионов стоит сложно в любом возрасте. Такая гибкость — одно из преимуществ начинающих с постановкой, а не с конкретным вопросом.

    На странице проекта Mathematics Project перечислены примеры настроек исследования (см. Настройки). Вы также можете создать настройку исследования, удалив вопрос, оставив описание проблемы.Например, вы может представить своим ученикам последовательность Фибоначчи или последовательность степеней трех и дайте им время расширить списки и спросить свои собственные вопросы о поведении, которое они отмечают (например, всегда ли будет быть двумя шансами на каждое четное в последовательности Фибоначчи?).

    Иногда обстановка может быть единственным примером более крупного явления. За Например, Единица Настройка дроби представляет уравнение.Учитывая этот единственный математический объект, какие вопросы возникают у ваших учеников? Студенты обычно обращают внимание на общие числители и задачу умножения. в знаменателе (2 * 3 = 6) и спросите, есть ли другие подобные уравнения существовать. Этот вопрос ведет к чудесным открытиям и бесчисленным расширениям. настройки. (Обратите внимание, что прежде, чем студенты смогут задать вопрос о объект, они должны выяснить, что это за пример.)

    Отдельные уравнения и диаграммы могут служить отправной точкой для исследования. Точно так же новые определения могут стать семенем для исследований (см. Новые определения для создания новых проблем в определениях). Настольные игры и другие стратегические игры также предоставляют обстановку, которая вдохновляет математические исследования (например, Set). Книги Стивена Брауна, Мэрион Уолтерс и Фредерика Стивенсона перечисленные в библиографии, являются отличными источниками для постановки задач и настройки исследования.

    БИБЛИОГРАФИЯ

    Браун, Стивен и Уолтерс, Мэрион (1983). Искусство проблем Саша . Хиллсдейл, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс.

    Браун, Стивен и Уолтерс, Мэрион (редакторы) (1993). Постановка задачи: Размышления и приложения . Хиллсдейл, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс.

    COMAP (1996). Для всех практических целей: Введение в современную Математика .Нью-Йорк: В. Х. Фриман и компания.

    Девлин, Кейт (1999). Обнаружена новая математическая константа , MAA Online: http://www.maa.org/devlin/devlin_3_99.html.

    Гарднер, Мартин (1986). Пончики с узлом и другие математические развлечения . Нью-Йорк: В. Х. Фриман и компания.

    Гарднер, Мартин (1988). Путешествие во времени и прочие математические недоразумения . Нью-Йорк: W.Х. Фриман и компания.

    Геометрическая свалка доступна по адресу http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/open.html.

    Гротч, Чарльз (1999). Обратные задачи . США: математика Ассоциация Америки.

    Лагариас, Джефф (2000). Задача 3x + 1 и ее обобщения . Доступно в Интернете по адресу http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lagarias/index.html.

    задачи недели математического форума доступны в Интернете. в (http: // mathforum.com / pow).

    The Mathematical Gazette , информация доступна на сайте http://www.m-a.org.uk/eb/periods.htm

    Национальный совет учителей математики (NCTM). Математика Учитель. Рестон, Вирджиния. Информация о членстве и подписке доступна на сайте www.nctm.org или по телефону 1-800-235-7566.

    Петерсон, Иварс (1996). Формулы справедливости , Новости науки В Интернете по адресу http: // www.sciencenews.org/sn_arch/5_4_96/bob1.htm

    Петерсон, Иварс (1999). Фибоначчи наугад , Science News В Интернете по адресу http://www.sciencenews.org/sn_arc99/6_12_99/bob1.htm.

    Проблемы с точкой доступны в Интернете по адресу http://www2.edc.org/mathproblems.

    журнал Quantum , информация доступна на сайте http://www.nsta.org/quantum/.

    CyberTeasers журнала Quantum доступны в Интернете по адресу http: // www.nsta.org/quantum/cyberarc.asp.

    Шилак, Джейн, канцлер, Дина и Чайлдс, Кимберли (2000, февраль). Разработка вопросов для развития математического мышления детей. Обучение детей математике , 398–402.

    Стивенсон, Фредерик (1992). Исследовательские задачи по математике . Рестон, Вирджиния: NCTM.

    Нерешенные математические задачи доступен в Интернете по адресу http: // www.mathsoft.com/asolve/index.html.

    Вайсштейн, Эрик (1999). Компакт-диск с краткой энциклопедией математики . США: CRC Press.

    ПРИЛОЖЕНИЕ

    Проиллюстрирован ошеломляющий набор тем, из которых состоит математика. ниже Классификациями математических предметов 1991 г., который используется для организации базы данных рефератов Zentralblatt-MATH статей журнала математики. Поделиться этим списком со своими учениками должен дать представление о том, что еще нужно исследовать математически.Многие заголовки будут бессмысленными, но вы должны поощрять студенты, чтобы отметить те немногие, которые они узнают. В полной классификации На схеме в каждой рубрике много подзаголовков.

    Для альтернативного занятия, более увлекательного и интерактивного, чем чтение этот список, вы можете попросить учащихся щелкнуть записи Эрика Вайсштейна Краткая энциклопедия математики CD-ROM, разделы Александра Интернет-сайт Богомольного (http: // www.cut-the-knot.com/content.html), или на странице «Избранные математические константы» по адресу http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/constant.html. Другой вариант исследования — это Математический атлас (http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/), который организован в соответствии с классификациями предметов математики и содержит описание каждого заголовка (а также подзаголовков, которые не указаны ниже) и дополнительные обсуждения выбранных тем для каждый.Попросите своих учеников записать и объяснить одно новое определение: проблема, гипотеза и теорема, о которых они узнают из исследуемого сайта.

    Классификация предметов по математике

    00-XX Общие

    01-XX История и биография

    03-XX Математическая логика и основы

    04-XX Теория множеств

    05-XX Комбинаторика

    06-XX Порядок, решетки и упорядоченные алгебраические структуры

    08-XX Общие алгебраические системы

    11-XX Теория чисел

    12-XX Теория поля и многочлены

    13-XX Коммутативные кольца и алгебры

    14-XX Алгебраическая геометрия

    15-XX Линейная и полилинейная алгебра; теория матриц (конечная и бесконечная)

    16-XX Ассоциативные кольца и алгебры

    17-XX Неассоциативные кольца и алгебры

    18-XX Теория категорий и гомологическая алгебра

    19-XX К-теория

    20-XX Теория групп и обобщения

    22-XX Топологические группы и группы Ли

    26-XX Действительные функции

    28-XX Измерение и интегрирование

    30-XX Функции комплексной переменной

    31-XX Теория потенциала

    32-XX Несколько комплексных переменных и аналитических пространств

    33-XX Специальные функции

    34-XX Обыкновенные дифференциальные уравнения

    35-XX Уравнения в частных производных

    39-XX Разностные и функциональные уравнения

    40-XX Последовательности, серии и суммируемость

    41-XX Приближение и расширение

    42-XX Анализ Фурье

    43-XX Абстрактный гармонический анализ

    44-XX Интегральные преобразования

    45-XX Интегральные уравнения

    46-XX Функциональный анализ

    47-XX Теория операторов

    49-XX Вариационное исчисление и оптимальное управление; оптимизация

    51-XX Геометрия

    52-XX Выпуклая и дискретная геометрия

    53-XX Дифференциальная геометрия

    54-XX Общая топология

    55-XX Алгебраическая топология

    57-XX Коллекторы и клеточные комплексы

    58-XX Общий анализ и анализ на коллекторах

    60-XX Теория вероятностей и случайные процессы

    62-XX Статистика

    65-XX Численный анализ

    68-XX Информатика

    70-XX Механика частиц и систем

    73-XX Механика твердого тела

    76-XX Гидравлическая механика

    78-ХХ Оптика и теория электромагнетизма

    80-XX Классическая термодинамика и теплообмен

    81-XX Квантовая теория

    82-XX Статистическая механика и строение вещества

    83-XX Теория относительности и гравитации

    85-XX Астрономия и астрофизика

    86-XX Геофизика

    90-XX Экономика, исследования операций, программирование и игры

    92-XX Биология и другие естественные науки; поведенческие науки

    93-XX Теория систем; контроль

    94-XX Информация и связь; схемы


    Версия для печати (PDF)


    .
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *